's nachts bewijsje gevonden. wat is het?

[aaargh]

Een paar nachten geleden lag ik wakker van een teveel aan koffie en cola en ik dacht aan netwerkprotocollen

Via veel omwegen en nadenken heb ik dan volgende ""stelling"" bewezen. (Meteen een excuus om nog is om te mogen LaTeXen)

\(\forall p,n \in \mathbb{N} : p^n-1|p-1\)

Ik heb het gedaan met mathematische inductie. Ik schrijf dat wel eens op als het moet.

Is dit iets OOverbekend? Of heb ik iets moois gevonden?

Ik heb het knagende gevoel dat dit iets is dat ik heeeel goed ken, maar ik kom er niet op. Kan iemand me helpen?

[A.Square]

Mooi werk!

Maar ik denk dat je bedoelt

\(p-1|p^n-1\)

Als ik er zo even snel naar kijk is het vrijwel triviaal wanneer

\(n=2^k\)

dan via het merkwaardig product:

\(p^{2^k}-1=(p^{2^{k-1}}-1)(p^{2^{k-1}}+1)=(p^{2^{k-2}}-1)(p^{2^{k-2}}+1)(p^{2^{k-1}}+1)=...\)

\(=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)(p^8+1)...(p^{2^{k-1}}+1)\)

Wat bovendien ook wel een aardige identiteit geeft.

[TD]

Mooi gedaan, maar helaas is het wel al gekend...

Het is eigenlijk een direct gevolg van de factorstelling, vermits de deelbaarheid van deze veeltermen impliceert dat p-1 een factor is van de ontbinding van p^n-1. Volgens die stelling is dat inderdaad zo, omdat p-1 = 0, dus p = 1 een nulpunt is van p^n-1.

[eendavid]

leuk, volgt ook onmiddellijk uit distributiviteit:

\((1-p)(1+p+...+p^{n-1})=1-p^n\)

[TD]

Inderdaad, dat is waarschijnlijk de "eenvoudigste" manier om het te zien.