Met formule(s) elke rij getallen mogelijk?

[Evert]

Ik dacht dat deze grafiek niet kon omdat te snel/scherp van richting veranderd, maar veel succes.

[edit] ok, als dit niet kan omdat de eerste 2 punten op 1 lijn liggen mag je (11,2) ook veranderen in (11,3) pi.gif

grafiek 469 keer bekeken

[TD]

De eerste twee punten op één lijn is geen probleem hoor.

Probeer eens: y = f(x) met f(x) = 6x²/5 - 78x/5 + 142/5 pi.gif

[Evert]

De eerste twee punten op één lijn is geen probleem hoor.

Probeer eens: y = f(x) met f(x) = 6x²/5 - 78x/5 + 142/5 pi.gif

[edit]Sorry verkeerd in de GR getypt:$

Maar damn, hoe weet jij zo snel welke formule het is?

[HosteDenis]

Zie de afbeelding hieronder:

Verborgen inhoud

Naamloos 455 keer bekeken

Indien je enkel de afbeelding wou, zie hierboven. Wil je ook uitleg, dan kan ik je die wel geven.

Denis

EDIT: Blijkbaar heb ik zodanig lang over de grafiek gedaan dat TD én Evert's antwoord me voor waren.

[TD]

Maar damn, hoe weet jij zo snel welke formule het is?

Mijn bijnaam is "raketman". Nee serieus, dat heb ik met behulp van de computer berekend pi.gif

Met de hand kan ook hoor, alleen duurt het dan wel iets langer - zelfs voor raketman...

[HosteDenis]

Mijn bijnaam is "raketman". Nee serieus, dat heb ik met behulp van de computer berekend pi.gif

Met de hand kan ook hoor, alleen duurt het dan wel iets langer - zelfs voor raketman...

Mag ik vragen welk programma je daarvoor gebruikt?

Denis

[TD]

Dit heb ik met Derive gedaan, maar het lukt ook met andere programma's natuurlijk - tegenwoordig zelfs met grafische rekenmachines pi.gif

[Evert]

Ook met de GR? zo'n functie heb ik nog nooit gevonden. pi.gif Hoe dan? (A)

[TD]

Je kan met sommige grafische rekenmachines stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen (met een ingebouwde '(simultaneous) equation solver' ofwel met matrices), meer moet je hier niet doen. Je vertrekt van:

y = ax²+bx+c

Je vult de drie punten eens in (x en y telkens vervangen door de coördinaten van het punt). Voor elk punt krijg je dan een vergelijking in a, b en c. Je houdt dus drie lineaire vergelijkingen over in de drie onbekenden a, b en c. Dit kan je dan oplossen met een stelsel, ook met behulp van de meeste grafische rekenmachines (denk ik).

Toegepast op jouw voorbeeld, we drukken uit dat (2,2) erop moet liggen:

2 = a.2² + b.2 + c dus 2 = 4a+2b+c.

Invullen van de andere twee punten, levert zo nog twee vergelijkingen.

[Raga]

ik was ook al met de hand bezig, maar toen ik al die breuken zag, sloeg de luiheid toe, en heb ik het maar laten zitten pi.gif

[TD]

Als je willekeurige punten kiest, gaan de uitkomsten natuurlijk niet noodzakelijk 'mooi' zijn.

Maarja, wat is mooi? Natuurlijke getallen? Gehele getallen? Rationale getallen? Het kan erger pi.gif

[Safe]

Ook met de GR? zo'n functie heb ik nog nooit gevonden. pi.gif Hoe dan? (A)

Met deze geg ptn (2,2), (11,2) en (12,14) is het niet moeilijk de kwadr verg te bepalen.

Ga uit van: y=a(x-13/2)²+q, dit is een par met symm as x=13/2.

Vul nu: het eerste en derde pnt in en a en q zijn (eenvoudig) te bepalen.

Met de GR en daarin QuadReg zijn a, b en c uit y=ax²+bx+c, direct te bepalen.

[A.Square]

Laat ik ook eens mijn duit in het zakje doen met de opmerking dat dit niet alleen geldt voor polynomen.

Bezie bijvoorbeeld de functie

f(x) = a*Sin(x+b) + c

Ook hier zien we 3 zelf te kiezen parameters (a,b en c) en door deze slim te kiezen kunnen we de grafiek door iedere verzameling van 3 punten laten gaan. (vermits ze verschillende x-coordinaten hebben)

We noemen het aantal van deze parameters het aantal vrijheidsgraden.

Het aantal vrijheidsgraden komt overeen met het aantal punten wat je kunt kiezen.

Pas wel op, een functie als deze: f(x) = a*Sin(x-b)+c+d heeft ondanks de extra parameter 'd' toch maar 3 vrijheidsgraden.

Dit is omdat c'=c+d weer een enkel getal is.

[Evert]

*kick*

Ok, TD zei volgens mij dat als de punten niet precies hoeven te zijn dan kun je in principe minder termen gebruiken om hetzelfde aantal punten te krijgen.

Dus stel je voor, ik zoek een aantal punten tussen de 1 en de 8, maar het hoeft niet precies dus ik doe het zo:

alles tussen 1 en 32 is een 1, alles tussen 33 en 64 is een 2 enzovoorts.

Als ik dan bijvoorbeeld 8 punten wil tussen de 1 en de 8 kan dat dan met minder dan 8 of 7 termen? En hoe doe je dat dan?

ps: de y-waarden zijn dus de willekeurige punten en de x-waarden zijn het gewoon "het eerste punt en het 2e punt enz..."

[Erik Leppen]

@A.Square, het mooie echter van veeltermfuncties, is dat als je n + 1 punten gegeven hebt, dan is er een unieke n-degraads veelterm f waarvan de grafiek precies door de gegeven punten gaat. Dit komt denk ik door het feit dat als je de n + 1 punten gaat invullen in een algemene veelterm (dus met coëfficienten als onbekenden), dat je dan mooie lineaire vergelijkingen krijgt in de parameters. In jouw sinusvoorbeeld krijg je een vergelijking als "2 = a sin(3 + b) + c" als het punt (3, 2) erop ligt, en dat oplossen naar b is lastig.

Maar ook wiskundig is het wat minder elegant met de sinusformule die jij geeft. Wat voorbeeldjes.

Als ik drie punten van de vorm (0, a), (pi, b) en (2pi, a) kies, dan zijn er volgens mij zelfs oneindig veel functies mogelijk: kies c het gemiddelde van a en b, kies een willekeurige b en dan ligt a vast.

Echter, gegeven de punten (0, a), (2pi, b), met a en b verschillend, en een willekeurig derde punt, heeft jouw sinusvoorbeeld geen oplossing, want jouw functie is periodiek met periode 2pi (dat probeem kun je overigens verhelpen door de functie a sin(bx + c) + d te bekijken)

@Evert: als ik je goed begrijp teken je nu niet punten, mar verticale lijnstukjes en je wil dat de grafiek van je functie f door de lijnstukjes snijdt? In jouw voorbeeld zijn de lijnstukjes boven x = 1, 2, ..., 32 op hoogte 1 t/m 2, die voor x = 33, ..., 64 op hoogte 2 t/m 3, etc. Volgens mij voldoet dan zelfs een rechte lijn met helling 1/32 die door het punt (0, 63/64) gaat.