Vierkante matrices

[Lipsels]

Hallo,

ik heb een vraagje in verband met mijn examen wiskunde dat ik ben gaan inkijken.

Kan iemand me even helpen?

Kunnen jullie een vierkante matrix A vinden waarvoor geldt dat A=A². A mag niet gelijk zijn aan de eenheidsmatrix, noch enkel nullen bevatten.

Ik denk dat dit alleen kan als de matrix A (minstens) één nulrij of (minstens) één nulkolom heeft.

Kan iemand dus een vierkante matrix vinden, waarvoor al het bovenstaande geldt?

Alvast bedankt

[ZVdP]

Je kan de eenheidsmatrix nemen, maar gewoon enkele enen vervangen door nullen; je hebt dan geen eenheids- of nulmatrix meer

[Lipsels]

Inderdaad, erg dom van mij

[

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

]

*

[

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

]

=

[

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

]

..

Bedankt voor het snelle antwoord

[TD]

Voorbeeld van een idempotente matrix:

\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & {0.5} \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right)\)

Maar een nulle rij of kolom is niet noodzakelijk, bijvoorbeeld:

\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {0.12} & {0.66} \\ {0.16} & {0.88} \\\end{array}} \right)\)

[EvilBro]

Je zou bij wijze van oefening kunnen aantonen dat de volgende matrix een oplossing is:

\(\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ \frac{a \cdot (1 - a)}{b} & (1 - a) \end{array} \right]\)

[stoker]

vanuit een meetkundig spandpunt:

neem A een projectiematrix op een willekeurig vlak in de 3D ruimte.

dan is A²=A aangezien een projectie van een geprojecteerde (vector, punt, ...) de geprojecteerde zelf is.

er zijn dus oneindig veel matrixen waarvoor A=A² geldt

[thermo1945]

Je zou bij wijze van oefening kunnen aantonen dat de volgende matrix een oplossing is:

\(\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ \frac{a \cdot (1 - a)}{b} & (1 - a) \end{array} \right]\)

Hoe maak je (typografisch) zo'n matrix?

[Klintersaas]

Zie hier. Vervang de ronde haakjes in de code door vierkante haakjes en je krijgt een mooie matrix. Zo is deze matrix:

\(\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\end{array}\right]\)

gemaakt met deze code:

Code: Selecteer alles

[tex]\left[

\begin{array}{ccc}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i \

\end{array}

\right]

[/tex]

[A.Square]

vanuit een meetkundig spandpunt:

neem A een projectiematrix op een willekeurig vlak in de 3D ruimte.

dan is A²=A aangezien een projectie van een geprojecteerde (vector, punt, ...) de geprojecteerde zelf is.

er zijn dus oneindig veel matrixen waarvoor A=A² geldt

Als ik me niet vergis is de eigenschap A=A² (idempotentie) zelfs een karakterisering van een projectie.

Dus A is een projectie <=> A=A²

[TD]

Inderdaad, zie ook hier.