[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

Je weet dat d(g(x)) = g'(x)dx. Dus d(R.cos(t)) = -R.sin(t)dt. Zo ook d(R.sin(t)) = R.cos(t)dt.

Gebruik dit op de twee termen en dan staat alles in dt, breng dit dan buiten haakjes. Lukt dat?

[Kabel]

ok bedankt, ik zag het even niet.

[TD]

Graag gedaan.

Bij zo'n problemen kan je altijd even van achter naar voor proberen te redeneren. Je ziet dat ze in de volgende stap opeens zijn overgegaan op dt, dus vraag je je af hoe je van bijvoorbeeld d(R.cos(t)) naar dt kan gaan. Meestal zet zoiets je op de goede weg, hier levert dat bijna direct de oplossing.

Succes nog!

[Mirjam92]

Ik moet om de inhoud van een torus te berekenen de volgende functie primitiveren:

\pi (√ ( r² – y² ) + a ) ²

Hierbij zijn r en a (waarschijnlijk) constant... (r is de straal, a is de afstand die de grafiek tov de y-as verschoven is)

Ik kom er maar niet uit... Kan iemand mij helpen?

Misschien zit er ook een fout in onderstaande redenering:

De oppervlakte van een cirkel met M(0,0):

x 2 + y 2 = r 2

y 2 = r 2 – x 2

y = √ ( r 2 – x 2 )

Oppervlakte van een cirkel met M(a,b):

( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2

We willen een grafiek in de vorm van een halve cirkel met M(a,0), dus:

y = √ ( r 2 – ( x – a) 2 )

Omdat de grafiek wentelt om de y-as, moeten we de formule uitdrukken als x(y) voordat we de formule gaan primitiveren:

y = √ ( r 2 – ( x – a) 2 )

y 2 = r 2 – ( x – a) 2

– ( x – a) 2 = y 2 – r 2

( x – a) 2 = r 2 – y 2

x – a = √ ( r2 – y2 )

x = √ ( r2 – y2 ) + a

De inhoud van de torus:

a + r

2 \int \pi (√ ( r² – y² ) + a ) ² dy

a - r

[dirkwb]

Deze vraag heb je hier al gesteld en je hebt TD's hint/vraag genegeerd.

[TD]

Je hoeft je vraag maar een keer te stellen, de andere topic heb ik gesloten.

Dus nogmaals: heb je goniometrische substituties al gezien?

[Jeroen]

Hoe pak ik iets als onderstaande integraal aan:

\( \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} dx \)

Het primitiveren lukt geloof ik wel, maar ik kom in de problemen met het invullen van die grenzen.

[TD]

Wat vind je als primitieve? Bepaal hiervan de limieten voor x naar naar .

[Morzon]

Wat is

\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2}e^{-ax^2}\)

?

Edit: Je ziet ook dat de te integreren functie oneven is, aan wat doet dat je denken?

[Jeroen]

die limiet gaat naar nul, maar wat als ik de limiet van x naar

\(-\infty\)

doe?

edit:

Als primitieve heb ik:

\(\frac{-1}{2a} e^{-ax^2}\)

weer een edit (excuses):

Ook bij -oneindig gaat het natuurlijk naar nul omdat het x^2 is, ik zat niet goed op te letten.

Dus blijkbaar is de oplossing 0.

[Mirjam92]

Sorry...

[TD]

die limiet gaat naar nul, maar wat als ik de limiet van x naar

\(-\infty\)

doe?

Er staat x², maakt dat dan iets uit?

[Morzon]

die limiet gaat naar nul, maar wat als ik de limiet van x naar

\(-\infty\)

doe?

(-x)^2=(-1)^2 x^2

[Morzon]

die limiet gaat naar nul, maar wat als ik de limiet van x naar

\(-\infty\)

doe?

edit:

Als primitieve heb ik:

\(\frac{-1}{2a} e^{-ax^2}\)

weer een edit (excuses):

Ook bij -oneindig gaat het natuurlijk naar nul omdat het x^2 is, ik zat niet goed op te letten.

Dus blijkbaar is de oplossing 0.

Klopt!

Een andere manier:

\(f(x)=xe^{-ax^2}\)

\(\Psi=\int_{-a}^a f(x) \ dx \)

Je kan aantonen met substitutie

\(u=-x\)

dat

\(\Psi=-\int_{-a}^{a} f(x) \ dx \)

Dus

\(2\Psi=0 \Rightarrow \Psi=0\)

Als

\( f(x)=f(-x) \)

is je bovenstaande integraal altijd nul.

[TD]

Dat klopt niet helemaal. De functie f(x) = x is ook oneven, maar de integraal van - tot + bestaat niet. Je functie moet ook nog naar 0 gaan, langs beide kanten. Voor de opgegeven integraal krijg je altijd 0, voor strikt positieve waarden van a - anders niet.