Bepalen overdrachtsfunctie.

[Nitroxxx]

Gegeven volgende opgave:



Ik begin met de differentiaalvergelijking op te stellen tussen het punt

\(x_0\)

en het punt

\(x_1\)

.

\( 0 = k_1 \cdot \left[ x_1(t) - x_0(t) \right]+ b_1 \cdot \left[ x_1^{'}(t) - x_0^{'}(t)\right]\)

Ik pas de Laplace-transformatie toe.

\( 0 = k_1 \cdot \left[X_1(s) - X_0(s)\right] + b_1 \cdot \left[s^2X_1(s) - s^2X_0(s)\right] \)

Bijgevolg is volgens mij de uitkomst 1 maar dit lijkt mij vrij onlogisch. Je houdt immers in geen enkel geval met die onderste veer rekening.

Kan iemand mij corrigeren of op weg helpen?

Alvast dank.

[dirkwb]

De afgeleide (accent) geeft 1 s niet een kwadraat.

[Nitroxxx]

De afgeleide (accent) geeft 1 s niet een kwadraat.

Inderdaad. Had ik eventjes vergist met de tweede afgeleide. Mijn excuses hiervoor. Kan je mij soms uitleggen hoe het nu verder moet met dit systeem. Ik veronderstel dat je ergens met die y ook moet rekening houden. Ik ben hierdoor een beetje verward aangezien enkel nog maar ervaring heb met het oplossen van systemen waar je slechts twee punten moest vrijmaken.

[dirkwb]

Je moet nu de DV's tussen de andere punten opstellen.

[Nitroxxx]

Je moet nu de DV's tussen de andere punten opstellen.

De door mij opgestelde DV is dus juist? Kan ik uit die eerste DV de oplossing niet halen dan? Immers:

\( 0 = k_1 \cdot \left[X_1(s) - X_0(s)\right] + b_1 \cdot \left[sX_1(s) - sX_0(s)\right] \)

\(0 = (k_1 + b_1 \cdot s ) \cdot X_1(s) - (k_1 + b_1 \cdot s ) \cdot X_0(s) \)

\(\frac{X_0(s)}{X_1(s)} = \frac{(k_1 + b_1 \cdot s )}{(k_1 + b_1 \cdot s )} \)

\(\frac{X_0(s)}{X_1(s)} = 1\)

[dirkwb]

Ik las niet goed je hebt gelijk.

[Nitroxxx]

Ik las niet goed je hebt gelijk.

Hoe kan je deze uitkomst dan fysisch interpreteren? Als ik als transfertfunctie 1 uitkom zou ik geneigd zijn te denken dat de verplaatsing die

\( x_0 \)

maakt gelijk is aan de verplaatsing die

\(x_1\)

maakt. Maar dan kan je toch even goed een systeem zonder die y en die onderste veer en demper beschouwen. Wat maakt nu het verschil?

[dirkwb]

Dit is een vreemde vraag. Ten eerste zijn er massa's afwezig. Ten tweede wordt er een overdrachtsfunctie gevraagd van een gedeelte van een systeem. Het is gebruikelijk die van het gehele systeem te beschouwen. Als je dat doet neem je die veer en verplaatsing y mee.

Deze zit nu verborgen in x₁. Overigens zegt die 1 iets over de Lapacetrafo van de DV's deze blijken gelijk te zijn.

[Nitroxxx]

Ik heb nog eventjes aan deze oefening gerekend en eens alle DV's opgesteld:

\(0 = k_1 \cdot \left[X_1(s) - X_0(s)\right] + b_1 \cdot \left[sX_1(s) - sX_0(s)\right] \)

\(0 = k_1 \cdot \left[X_0(s) - X_1(s)\right] + b_1 \cdot \left[sX_0(s) - sX_1(s)\right] + b_2 \cdot \left[sX_0(s) - sY(s)\right] \)

\(0 = k_2 \cdot Y(s) + b_2 \cdot \left[sY(s) - sX_0(s)\right] \)

Uit de eerste DV volgt gemakkelijk dat:

\(\frac{X_0(s)}{X1_(s)} = 1\)

Uit de derde DV volgt gemakkelijk dat:

\(\frac{Y(s)}{X_0(s)} = \frac{b_1 \cdot s}{b_2 \cdot s + k_2} \)

Bijgevolg is ook:

\(\frac{Y(s)}{X_1(s)} = \frac{b_1 \cdot s}{b_2 \cdot s + k_2} \)

Dit wat betreft de transfertfuncties. Nu probeerde ik ook eens gewoon de DV's op te lossen en kwam ik tot:

\( Y(s) = X_0(s) = X_1(s) = 0 \)

Of terug omgezet naar het tijdsdomein:

\( y(t) = x_0(t) = x_1(t) = 0 \)

Klopt dit allemaal wat ik hier schrijf? Als ik het correct heb dan blijft dit systeem gewoon stilstaan? Dit is dan waarschijnlijk het gevolg van de beginvoorwaarden die allemaal gelijk aan nul zijn gekozen?