Abstracte definitie van een rechte

[bibliotheek357]

Hallo,

Ik herinner me uit een cursus van de middelbare school dat er ooit eens stond 'Een rechte is een cirkel met een oneindige straal' en daarbij werd uitgelegd dat als je naar een deel van de cirkel kijkt, dat je de afbuiging niet ziet omdat deze zo minimaal is dat je een rechte ziet. Maar dat deel is toch de volledige cirkel niet? Het is slechts een stuk ervan. Dus is het niet eerder juist dat een cirkel met een oneindige straal een vlak is? Of hebben we het in dat geval al over een schijf?

[jhnbk]

Klopt. Een rechte heeft een oneindige 'kromte straal'

[TD]

Maar dat deel is toch de volledige cirkel niet? Het is slechts een stuk ervan. Dus is het niet eerder juist dat een cirkel met een oneindige straal een vlak is? Of hebben we het in dat geval al over een schijf?

Indedaad: de cirkel is de rand (de kromme), de oppervlakte die daardoor begrensd wordt is een schijf.

[Hansicarpus]

Neem een schijf S ('gevulde' cirkel) in het Euclidische vlak en kies een vast punt p op de rand (=cirkel) van de schijf. Beschouw de raaklijn L in dat punt. Laat nu de schijf steeds groter worden door het middelpunt m van de schijf weg te bewegen van p (in een richting loodrecht op L), p en L blijven vast.

Wat gebeurt er als het middelpunt 'naar oneindig' gaat? Met wat verbeelding: een deel van de rand van S plooit zich steeds dichter tegen L, terwijl de binnenkant van S het halve vlak langs één kant van L gaat overdekken. De limiet is dus een halfvlak.

Als we nu echter het middelpunt m van S vast nemen en dan de straal van de schijf groter maken dan bekomen we als limiet het gehele vlak...

[bibliotheek357]

Neem een schijf S ('gevulde' cirkel) in het Euclidische vlak en kies een vast punt p op de rand (=cirkel) van de schijf. Beschouw de raaklijn L in dat punt. Laat nu de schijf steeds groter worden door het middelpunt m van de schijf weg te bewegen van p (in een richting loodrecht op L), p en L blijven vast.

Wat gebeurt er als het middelpunt 'naar oneindig' gaat? Met wat verbeelding: een deel van de rand van S plooit zich steeds dichter tegen L, terwijl de binnenkant van S het halve vlak langs één kant van L gaat overdekken. De limiet is dus een halfvlak.

Als we nu echter het middelpunt m van S vast nemen en dan de straal van de schijf groter maken dan bekomen we als limiet het gehele vlak...

Ik snap je uitleg helemaal. Maar bij dat middelpunt dat zich van de rand verwijdert. Er zal altijd slechts een deel van de cirkel naar die rechte gaan, of anders gezegd, een deel van de cirkel zal bij benadering met die rechte samenvallen, maar dat is daarom niet die hele cirkel. Als je zegt dat een rechte een deel van een cirkel met een oneindige straal is, zou ik het nog min of meer goedkeuren. Maar als je zegt een cirkel met een oneindige straal ga je uit van het gehele deel. (dus de hele 360° die de 'rechte' maakt)

[TD]

Hansicarpus schrijft toch ook dat een deel van de rand tegen L zal komen te liggen?

[bibliotheek357]

Dus jullie zijn het in feite met me eens dat een rechte eigenlijk niet gedefinieerd mag worden als een cirkel met een oneindige straal?

[TD]

Er is een verschil tussen "niet mag worden" en "niet goed vinden". Het lijkt mij geen goede definitie.

[Hansicarpus]

Dus jullie zijn het in feite met me eens dat een rechte eigenlijk niet gedefinieerd mag worden als een cirkel met een oneindige straal?

Ik heb mij daarover nog niet uitgesproken. Een rechte kan je op verschillende manieren introduceren: puur axiomatisch (door te beschrijven hoe punten en rechten 'interageren'), als geodeet, als 1-dimensionale lineaire variëteit, enz... Een rechte als een cirkel of deel van een cirkel met een oneindige straal lijkt mij inderdaad een dubieus ding en eerder een prikkelend beeld dan een intelligente definitie.

In feite zijn er in de klassieke metrische ruimten geen afstanden van oneindig toegestaan, je kunt wel limieten van allerlei figuren bestuderen. Maar die kunnen 'gekke' resultaten opleveren, vandaar mijn twee voorbeeldjes hierboven. Veel hangt ook van de context af: op een sfeer (=holle bol) is een rechte als geodeet ('kortste weg') een cirkel met een eindige straal en twee middelpunten (bijvoorbeeld de evenaar en de twee polen) ...

[aaargh]

In mijn cursus stond een rechte eens gedefinieerd als een kegelsnede met excentriciteit oneindig.

[TD]

Met e>1 heb je een hyperbool, (x²/a² - y²/b² = 1) door b naar oneindig te laten gaan (en zo ook e) gaan de takken van de hyperbool steeds beter twee (evenwijdige) rechten benaderen.