Oppervlakte 1/4 bol

[Xarabass]

Stel ik heb een bol, die in hoogte tot 1/4 gevuld is met bijvoorbeeld water.

Hoe bereken ik nu het oppervlak dat het water bedekt aan de buitenkant van bol? (dus niet het oppervlak van de bovenkant)

bol 785 keer bekeken

[TD]

Heb je al iets van integralen gezien?

[Xarabass]

jawel, alleen zou ik er niet mee weten te werken.

[TD]

Heb je de formule (integraal) gezien voor de (mantel)oppervlakte van een omwentelingslichaam?

Je kan de gezochte oppervlakte immers vinden als de omwentelingsoppervlakte van een cirkel.

Is dit een huiswerkvraag? En ben je op zoek naar een berekeningsmethode, of gewoon het antwoord?

[Phys]

Het kan met bolcoordinaten (integreer een oppervlakte-element dA op vaste r). Ben je daarmee bekend?

[TD]

Dat is moeilijker dan nodig, volgens mij. Maar als bolcoördinaten gekend zijn, kan het natuurlijk ook zo.

[jhnbk]

Lijkt mij juist makkelijker. Dan is het in één integraal te schrijven.

EDIT: wat een onzin probeer ik weeral te verkopen

[TD]

In één integraal? Maar dan nog: het veronderstelt kennis van bolcoördinaten (hetgeen bijvoorbeeld in het middelbaar onderwijs niet of amper behandeld wordt), in die zin noem ik die oplossing "moeilijker". Laten we maar afwachten of Xarabass bolcoördinaten gezien heeft, anders lijkt het me niet erg nuttig om daarmee af te komen.

[aaargh]

Het kan toch gemakkelijk in één integraal? We gebruiken de formule voor manteloppervlakte:

\( S = 2 \pi \int^a_b |y(x)| \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \cdot dx \)

We leggen de bol op zijn kant. De vergelijking oor een cirkel is:

\( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)

De afgeleide is :

\( y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2 } } \)

\( 1 + [y'(x)]^2 \)

is dus

\( \frac{r^2}{r^2 - x^2}\)

S is dus

\( 2 \pi \int^r_{\frac{r}{2}} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2 }} \cdot dx\)

\( S = 2 \pi r \int^r_{\frac{r}{2}} dx = 2 \pi r [x]^r_{\frac{r}{2}} = 2 \pi \frac{r^2}{2} = \pi r^2 \)

Wat toevallig ook de oppervlakte is van een cirkel met straal r.

Akkoord? Of heb ik een fout gemaakt.

[TD]

Het kan toch gemakkelijk in één integraal? We gebruiken de formule voor manteloppervlakte:

Dat is ook precies de methode waar ik eerder al op doelde.

Akkoord? Of heb ik een fout gemaakt.

Ziet er oké uit, alleen hebben we liever niet dat de volledige uitwerking geplaatst wordt als de vragensteller zelf nog wat kan zoeken en daarbij geholpen wordt...

[aaargh]

Sorry, het is al een tijdje geleden.

[TD]

Geeft niet. Inderdaad al even geleden, maar ik herinner me je nog wel