vereenvoudiging afgeleide

[Mirjam92]

Hallo,

Ik weet niet of ik deze vraag stel op de goede plaats, maar goed.

Om de relativiteitstheorie met behulp van wiskunde te 'bewijzen', zou onder andere de volgende vergelijking moeten kloppen (sorry, maar ik kan ook nog geen formules typen, daarom in woorden):

v keer ( dv gedeeld door dx ) = ( 1 gedeeld door 2 ) keer ( dv kwadraat gedeeld door dx )

Ik zou iedereen die mij kan uitleggen waarom deze vergelijking klopt heel erg dankbaar zijn, want ik kom er niet uit.

Groet

[Klintersaas]

Ik weet niet of ik deze vraag stel op de goede plaats, maar goed.

Waarschijnlijk had je deze vraag beter in een nieuwe topic gesteld, maar goed, een moderator zal dit waarschijnlijk wel afsplitsen.

v keer ( dv gedeeld door dx ) = ( 1 gedeeld door 2 ) keer ( dv kwadraat gedeeld door dx )

Als ik je goed begrijp, komt daar de volgende LaTeX-formule mee overeen:

\(v \cdot \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mbox{d}v^2}{\mbox{d}x}\)

[Mirjam92]

Ok, dan zal ik dat een eventuele volgende keer proberen. Ik ben nog niet echt een geoefend gebruiker van dit forum, maar ik zal m'n best doen. Dat is inderdaad de formule die ik bedoelde.

[Klintersaas]

Dat is inderdaad de formule die ik bedoelde.

Wel, voor een deeltje dat volgens de x-as beweegt met snelheid \(v\) op het tijdstip \(t\) geldt:

\(a = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \cdot \frac{v^2}{2}\)

met \(a\) is de versnelling.

Nu weten we dat versnelling de afgeleide van snelheid is, dus geldt het volgende:

\(a = \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} = \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x} \cdot \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\)

We weten ook dat snelheid de afgeleide is van afstand, dus geldt het volgende:

\(v = \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\)

Als we dit in de vorige vergelijking invoegen krijgen we:

\(a = v \cdot \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x}\)

Daaruit volgt:

\(v \cdot \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \cdot \frac{v^2}{2}\)

Dat was wat jij wilde aantonen.

PS: Ik zie dat ik de formule in mijn vorige post niet zo goed heb genoteerd.

[TD]

v keer ( dv gedeeld door dx ) = ( 1 gedeeld door 2 ) keer ( dv kwadraat gedeeld door dx )

Even een wiskundige waarschuwing, de notatie "dv/dx" staat niet voor "dv gedeeld door dx" maar staat voor de afgeleide van v naar x. Je wil dus aantonen:

\(v \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\mbox{d}v^2}{\mbox{d}x}\)

Pas op het rechterlid gewoon de kettingregel toe:

\(\frac{1}{2} \frac{\mbox{d}v^2}{\mbox{d}x}= \frac{1}{2} \frac{\mbox{d}v^2}{\mbox{d}v} \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x}= \frac{1}{2}2v \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x}= v\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}x}\)