[Wiskunde]Diophantische vergelijking

[ntstudent]

Hallo,

ik heb een vraagje, dat gaat als volgt:

Diophantus van Alexandrië leefde in de 3e eeuw n.C. en schreef onder andere een lijvig boekwerk, de Arithmetica. Als Lemma bij Vraagstuk V1.12 staat een bewering die in moderne taal equivalent is met:

Stelling: Als A en C rationale breuken zijn zodat A+C een kwadraat is (van een rationale breuk), dan heeft (*)

\(Ax^{2}+C=y^{2}\)

oneindig veel oplossingen in (x,y) in (zo'n E teken, alleen dan boller) irrationele getallen^2.

Opgave 1. Stel dat K de grafiek is van (*) in het (x,y)-vlak, en dat

\(L_{t)\)

een rechte lijn is met richtingscoëfficiënt t die door P=(1,

\(\alpha\)

) gaat, met

\(\alpha = \sqrt{A+C}\)

. Vindt de snijpunten van K en

\(L_{t}\)

expliciet.

Mijn vraag is in wat, of hoe moet ik de snijpunten uitdrukken?

Bedankt, ntstudent

[Phys]

In gegeven symbolen. Ik zou zeggen, bereken de snijpunten en dan zie je wel waarin je ze uit hebt gedrukt. Welke aanpak had je in gedachten (het is heel makkelijk)?

[foodanity]

Diophantus van Alexandrië leefde in de 3e eeuw n.C. en schreef onder andere een lijvig boekwerk, de Arithmetica. Als Lemma bij Vraagstuk V1.12 staat een bewering die in moderne taal equivalent is met:

Stelling: Als A en C rationale breuken zijn zodat A+C een kwadraat is (van een rationale breuk), dan heeft (*)

\(Ax^{2}+C=y^{2}\)

oneindig veel oplossingen in (x,y)

\(\in\)

(aangepast epsilon teken, spreek uit als exist in, of bestaat uit) irrationele getallen^2 rationale getallen (

\({\qq}^2\)

).

Opgave 1. Stel dat K de grafiek is van (*) in het (x,y)-vlak, en dat

\(L_{t)\)

een rechte lijn is met richtingscoëfficiënt t die door P=(1,

\(\alpha\)

) gaat, met

\(\alpha = \sqrt{A+C}\)

. Vindt de snijpunten van K en

\(L_{t}\)

expliciet.

Een snijpunt heb je al, namelijk P(1,

\(\alpha\)

), dan stel je nu dat de lijn met een juiste richtingscoefficient (t) nog een snijpunt heeft met de grafiek K, dan kun je de vergelijking van de lijn in de vergelijking van K invullen en zo het tweede snijpunt berekenen, probeer die aanpak eerst eens en post je bevindingen dan.

Trouwens doe je de bachelor wiskunde (en toepassingen?) of een twin in utrecht? Want ik kreeg vorige week dezelfde opdracht en de docent ging inderdaad heel snel en was vrij lastig te volgen

[ntstudent]

Ik doe TWINFO (informatica en wiskunde) =), maar de docent ging inderdaad erg snel en ik ik snapte het niet helemaal . In Utrecht . Jij zit zeker ook in Utrecht?

PS: ik post vanavond even mijn uitwerkingen als ik klaar ben =).

[ntstudent]

Een paar vraagjes over deze opgave.

De snijpunt die u zei, was toch geen snijpunt? (

\(P = (1,\alpha)\)

) Want bedoelen ze dan niet dat alleen

\(L_{t}\)

door punt

\(P\)

gaat? (zie tekst bovenaan)

Dit is trouwens mijn "eigen" aanpak, voordat ik uw hints las:

Op de middelbare school deed ik het altijd namelijk zo:

\(L_{t} = tx+b\)

hiervan is

\(b\)

onbekend.

Aangezien hij door punt

\(P = (1,\alpha)\)

gaat vul ik hem in en krijg ik als volgt:

\(\sqrt{A+C} = 1*t + b \)

\(\sqrt{A+C} = t + b\)

\((\sqrt{A+C}) - t =b\)

dus de formule voor

\(L_{t}\)

is

\(L_{t} = tx + ((\sqrt{A+C}) - t)\)

.

Nu stel ik hem gelijk aan K:

\(\sqrt{Ax^{2}+C} = tx + (\sqrt{A+C} - t)\)

\(Ax^{2}-t^{2}x^{2} = 2tx (\sqrt{A+C}-t) + (\sqrt{A+C}-t)^{2} - C\)

hoe ga ik verder of is dit een totaal verkeerde aanpak?

PS: ik post strakjes de aanpak van foodanity, tenminste hoe ik de aanpak opvat.

[Heezen]

Wat grappig, jij zit dus ook hier op het Uithof..lol, ik ook dus

Goed, mijn aanpak was:

alfa=wortel(A+C)

Die lijn heeft vergelijking y=tx-x+alfa=t(x-1)+alfa

(Algemene lijn die door (1,alfa) gaat.)

Dit moet je gebruiken om Ax^2+C=y^2

dus

Ax^2+C=(t(x-1)+alfa)^2

Dan heb je dus de snijpunten, oplossen naar x en klaar.

Uiteindelijk krijg je iets in de vorm ax^2+bx+c=0 en dan kan je of de ABC formule gebruiken, maar daar wordt je niet blij van, óf je kan het doen zoals de docent ook deed:

x0*x1=c/a

Waarbij x0 en x1 oplossingen zijn. We weten één oplossing, namelijk (1,alfa)

[ntstudent]

zeg niet dat jullie allemaal ook bachelors zijn?

[Heezen]

zeg niet dat jullie allemaal ook bachelors zijn?

Hehe, kerel we zaten maandag allemaal bij elkaar met kaleidoscoop

[ntstudent]

\( y = tx-x+\alpha \)

hoezo heeft een rechte lijn deze vergelijking? Ik leerde vroeger altijd dat een rechte lijn gewoon:

\(y = ax + b\)

is in dit geval is het dus:

\(y = ax +\alpha\)

[Heezen]

De algemene formule voor een lijn luidt:

y=mx+b

We weten dat (1,alfa) een punt op deze lijn is, we vullen dit in ( en t is de hellingsgetal)

y=tx+b

alfa=t(1)+b

b=alfa-t

Dus:

y=tx+alfa-t

y=t(x-1)+alfa

[ntstudent]

"y=tx-x+alfa=t(x-1)+alfa" ik schrijf hem even in Latex:

\(y = tx - x + \alpha\)

oftewel

\(y = x (t-1) + \alpha\)

het hoort dit te zijn toch? =)

y=tx+alfa-t

y=t(x-1)+alfa

(ik voel me nu best dom dat ik dit stel aan allemaal mensen die hetzelfde doen als ik xD); ik snap hem als het goed is nu =) Thnx "klasgenoten"

[ntstudent]

PS: de aanpak had ik goed, alleen ik heb een probleem met het "herleiden naar x". Verder was wat algebra van mijn vorige post ook beetje fout, omdat ik in plaats van

\(\alpha\)

hem gewoon volop schreef.

\(Ax^{2}+C = (t(x-1)+\alpha)^{2}\)

\(Ax^{2}+C = (tx - t + \alpha)^{2}\)

\(Ax^{2}+C = (tx-t+\alpha)(tx-t+\alpha)\)

\(Ax^{2}+C = 2tx - t^{2}x + \alpha tx - t^{2}x+t^{2} - t \alpha + \alpha t x - \alpha t + \alpha^{2}\)

\(Ax^{2}+C = (2t + 2 \alpha t - 2t^{2})x +t^{2} - \alpha t + a^{2}\)

hoe ga ik verder?

[Heezen]

Aan wat is alfa^2 gelijk?

En gebruik het truucje wat ik in een paar posts terug heb gezegd, en die de kerel die dit alles heeft uitgelegd ook zei:

x0*x1=c/a, waarbij x0=1, en x1 willen we vinden..

Je kan ook de abc formule gebruiken maar dat maakt het veel onoverzichtelijker..

[foodanity]

Die vergelijking van een lijn is heel makkelijk na te gaan:

de richtingscoefficient wordt gedefinieerd als:

\(t = \frac {(y-y_0)}{(x-x_0)}\)

ook wel

\(t = \frac {\Delta y}{\Delta x}\)

met (x0, y0) een willekeurige gekozen punt op de lijn. Nu volgt uit deze definitie van de rico:

\(t \cdot (x-x_0)= (y-y_0)\)

Gewoon beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigt met (x-x0)

Als je deze dan omzet naar y krijg je dus:

\(y = t \cdot (x-x_0)+y_0\)

Nu is het punt P bekend dat op de lijn ligt: (1,

\(\alpha\)

). Dus kunnen we onze x0 en y0 invullen in deze vergelijking. Dus gaat onze vergelijking over in:

\(y = t \cdot (x-1)+ \alpha\)

Nu heb je gewoon even logisch een vergelijking van een lijn afgeleid in plaats van klakkeloos aan te nemen dat de vergelijking altijd voldoet aan y=ax+b. Nu weet je dus ook waarom...

[Phys]

Nu heb je gewoon even logisch een vergelijking van een lijn afgeleid in plaats van klakkeloos aan te nemen dat de vergelijking altijd voldoet aan y=ax+b. Nu weet je dus ook waarom...

Het is niet zo dat je nu hebt aangetoond dat een rechte altijd voldoet aan y=ax+b.

Je kunt overigens best ('klakkeloos') uitgaan van y(x)=ax+b, en dan zoals Heezen hier aangaf het punt (1,alfa) invullen, zodat er keurig uit komt rollen b=alfa-t.