Union als disjoint union

[timwaagh]

Hallo,

ik vraag me iets af. is een union van een familie verzamelingen altijd te beschouwen als een union van niet-doorsnijdende verzamelingen? het antwoord zal wel ja zijn, maar toch...

voor een eindige hoeveelheid weet ik het denk ik wel:

\(A\cup B= (A / B) \cup B \)

\(A\cup B \cup C= ((A / B) / C) \cup (B / C) \cup C\)

enzovoort (wat met inductie wel hard gemaakt zal kunnen worden)

maar dit wordt een beetje lastig als je naar een aftelbare (dit was mijn oorspronkelijke doel), of zelfs nog verder gaat.

kunnen jullie hier iets mee?

[thermo1945]

\(A\cup B= (A / B) \cup B \)

Waarom zou je eerst een paar elementen 'weggooien' als je ze later weer bij elkaar voegt tot één geheel, de vereniging?

Je handelingen lijken me zinloos en zinloos ingewikkeld.

[timwaagh]

Waarom zou je eerst een paar elementen 'weggooien' als je ze later weer bij elkaar voegt tot één geheel, de vereniging?

Je handelingen lijken me zinloos en zinloos ingewikkeld.

ik laat daar zien dat de union van twee verzamelingen op te schrijven als de union van twee disjointe verzamelingen.

\(A/B\)

en

\(B\)

zijn disjoint (niet doorsnijdend). in een berekening zou je er misschien iets aan hebben bij het berekenen van een kans op een union van gebeurtenissen.

overigens had mijn docent vandaag precies dezelfde aanpak...nou blijft over...waarom? want eerlijk gezegd zie ik niet hoe dit meteen bewijst dat elke union van aftelbaar veel verzamelingen te zien is als een union van aftelbaar veel onderling disjointe verzamelingen. volgens mij mist er een stapje.

[The Black Mathematician]

Volgens mij kan het in het algemeen wel, al heb je het keuzeaxioma nodig voor het geval dat je overaftelbaar veel verzamelingen hebt.

Wat je doet is dat je eerst een indexverzameling

\(A\)

neemt om je verzamelingen te labelen. Dus je verzamelingen noteer je als

\(X_\alpha : \alpha\in A\)

. Dan kies je (keuzeaxioma) een welorde

\(<\)

op

\(A\)

en vervolgens schrijf je

\(Y_\alpha=X_\alpha\setminus\left(\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta\right)\)

.

Dan

\(\bigcup_{\alpha\in A}Y_\alpha=\bigcup_{\alpha\in A}X_\alpha\)

, terwijl de

\(Y_\alpha\)

onderling disjunct zijn.

Laat mensen mij vooral corrigeren als ik het mis heb.