Relativiteitstheorie einstein

[StrangeQuark]

Nog 1 laatste mooie uitdaging als jullie (met of zonder hulp) uit het verhaal van tijdsdilatie zijn gekomen, gaan we voor lengtecontractie, is ietsje ingewikkelder, maar je moet ook gewoon weer aan twee spiegels denken, alleen nu bewegen de spiegels de andere kant op. Kijk maar of je eruit komt. We kunnen eerst beginnen met tijdsdilatie.

[StrangeQuark]

Ik kreeg de indruk dat ik wat snel was gegaan over de wiskunde. Wellicht is dat helemaal niet het probleem (dat is wat ik uit je PB begreep), en dan hoor ik het vanzelf. Ik ben hier het voor jou aan het doen, dus als jij er problemen mee heb, doe ik iets niet goed. Het is geen zelfbevrediging dit (uiteraard in de meest niet vunzige manier bedoelt).

Einstein kwam tot de conclusie dat we niet meer door kunnen gaan als Galileo. Die ouwe knar had namelijk gezegd dat wanneer je twee auto's hebt die in tegengestelde richting gaan (de een met 30m/s en de ander met 40m/s) je simpel de snelheden mag optellen en kan zeggen dat ze met 70m/s op elkaar afrijden (dat Gallileo iets over auto's gezegd zou hebben in de 17e eeuw is uiteraard sowieso onzin )

Einstein merkte op dat als we dat zo doen je een probleem hebt met bepaalde experimenten die je in een auto uitvoert en naast de auto op de grond. Als je namelijk simpelweg snelheden mag optellen, zijn niet alle experimenten gelijk en dat is duidelijk niet waar in onze natuur. Het maakt niet uit of je iets doet in een auto of niet, het maakt niet uit of je een constante snelheid hebt of dat je stil staat. Het gaat vooral mis als je experimenten met licht doet op hoge snelheid.

Als ik namelijk stil sta langs de weg en kijk naar een foton wat tussen twee spiegels heen en weer gaat, zie ik een foton in een bepaalde tijd een bepaalde afstand afleggen (namelijk op en neer met een bepaalde snelheid). Echter als ik jou in een auto voorbij zie rijden met diezelfde spiegels, dan zie ik dat het foton niet op en neer gaat, maar zigzagt. DIT IS ERG BELANGRIJK. Is dat te begrijpen???? Zie je waarom jij op jouw auto ziet dat het foton van boven naar beneden gaat, maar dat ik kijkend naar jouw auto zie dat het foton op en neer zigzagt zoals op het plaatje?

Als je hier vastloopt, laat het dan weten, want dat is een balangrijk punt.

Verder weet je misschien de stelling van pythagoras nog. \(a^2+b^2=c^2\) Als ik nu een driehoek teken met de twee fotonen, foton H is zoals jij hem ziet op de auto (op en neer), foton S is zoals ik hem zie (heen en weer maar in een schuine lijn, want jouw auto rijd namelijk).

relativiteit6 763 keer bekeken

Dus zoals gezegd kijk nog even naar het plaatje. Jij staat in de auto naast je spiegels. Wat zie je? Je ziet een foton op en neer stuiteren tussen de twee spiegels. (klopt dat?) Ik sta stil langs de kant van de weg, ik zie jou en je auto en je spiegel voorbij rijden. Denk goed na, wat zou ik moeten zien, ik zie niet een foton op en neer stuiteren, maar hij gaat schuin omhoog en schuin omlaag terwijl je voorbij rijdt. Laat anders een van je groepsgenoten (of je moeder of wie dan ook) voor je stil staan en met een vinger op en neer bewegen, alsof je in de lucht de letter I wil schrijven. Laat dan het persoon precies hetzelfde doen terwijl ze voorbij loopt. Je ziet dan niet meer een I maar je ziet een zigzag. De gene die met de vinger op en neer gaat, zal wel een I blijven zien, ze ziet alleen achter de I langs de kamer waarin je dit experiment doet voorbij gaan.

EN NU WEER EEN BELANGRIJK IETS. Merk op dat de rode pijl langer is dan de blauwe pijl (stelling van pythagoras, meet anders de pijlen op). Denk hier eens rustig over na. Het foton wat ik jij ziet gaat bijvoorbeeld in 1 seconde op en neer, ik zie een foton ook in 1 seconde op en neer gaan. Maar mijn foton legt meer afstand af dan de jouwe. Hoe de hell kan dat. We waren het toch eens over de lichtsnelheid? De lichtsnelheid is constant!!! Lees deze paragraaf anders nog eens goed door, want hier is veel op gestoeld. In dezelfde tijd (1 seconde) legt mijn foton meer afstand af dan de jouwe, maar de lichtsnelheid moet constant zijn. Dit is een probleem. De natuur lost dat op door onze horloges anders te laten lopen. Deze paragraaf is 1 van de 2 grootste wetenschappelijke mind-**** van de 20e eeuw. Het is niet erg als je het 2 keer moet lezen. De wetenschap deed er een flink aantal jaar over voordat iedereen Einstein begreep of wilde begrijpen.

Dus wat heb ik eigenlijk nu gezegd. We mogen niet meer snelheden optellen op de manier zoals we gewend zijn, want de tijd is anders gemaakt door de natuur. We moeten dus een manier zien te vinden waarop we het wel eens kunnen worden. Met andere woorden, dat jouw tijd anders loopt dan mijn tijd is HELEMAAL NIET ERG. Zolang je maar weet, hoeveel verschillend die loopt. Je kan het misschien zo zien. Dat de klok anders loopt in Amerika (New York heeft 6 uur tijdsverschil) is helemaal niet erg, je moet er alleen rekening mee houden als je je tante belt die daar woont. Dat jouw tijd anders loopt als jij in een hele snelle auto zit, is helemaal niet erg omdat ik weet hoe ik moet uitrekenen hoe snel jouw klok gaat. Dat kan je berekenen met die gamma. Dit is ook weer een belangrijke alinea. Snap je, of wil je aannemen dat er experimenten zijn waar het heel belangrijk is dat ik weet hoe snel de klok gaat van het bewegende voorwerp? Zonder relativistische correcties zou jouw TomTom 11 KILOMETER per dag fout gaan lopen!!! Denk je eens in hoe belangrijk het dus is. Als we niet rekening houden dat die sataliet ontzettend snel rond de aarde gaat en dat zijn tijdklok dus anders loopt, dan zou elke GPS op aarde 11 km per dag fout gaan lopen. Dat is nogal wat.

Dus de gamma zorgt ervoor dat ik weet hoe snel de klok van de beweger loopt en andersom ook. Dat zeg ik...

Goed dan nu naar de afleiding van Gamma. Je weet nu waarom je het doet, en dat het iets te maken heeft met jouw tijd (in de auto) en mijn tijd. Ik ga de eerste paar stapjes van gamma opnieuw doen, en hopelijk is het iets duidelijker.

Eerst moeten we de dingen handig benoemen. Kijk jij kijkt op je klok en jouw secondes lopen anders dan de mijne. Je hebt misschien bij natuurkunde gezien dat tijd als grootheid de letter t heeft en als eenheid secondes. Dus je ziet dan staan als iets gebeurd na drie seconde: t=3s. Dat zie je altijd in je natuurkunde boek staan. de tijd is 3 seconde. Het vervloekte is dat we nu met verschillende secondes te maken hebben. Als jij in je auto zit, gaan je secondes langzamer dan de mijne voorbij. Dus mijn t=3s is iets HEEL anders dan jouw t=3s. Dan is het misschien niet zo handig om beide t te noemen. Ben je het daarmee eens? Laat ik dan omdat ik jou aardig vind, jouw tijd gewoon "t" blijven noemen. Mijn t is anders dus die kan ik "s" noemen, of aardbei, of \(\tau\) Ik kies er echter voor om hem \(t \dagger\). Als je het makkelijker vind dat ik hem \(\tau\) noem, dan doe ik dat. Voor nu is jouw tijd dus gegeven door "t", met andere woorden als ik op jouw horloge kijk zie ik "t" seconden verstrijken. Als ik op mijn horloge kijk zie ik \(t \dagger\) seconden verstrijken.

Dan komt er nu weer EEN BELANGRIJKE PARAGRAAF . Je wilt dus een makkelijke uitdrukking die ervoor kan zorgen dat ik alleen door ons snelheidsvershil te weten, mij verteld hoe jouw klok loopt. Dus stel je voor dat je met een bepaalde snelheid zou reizen dat dan jouw secondes half zo lang duren als mijn secondes. Dan zou de formule:

\(t=\frac{1}{2} t \dagger \) volstaan. Zie je jouw tijd gaat half zo langzaam als mijn tijd. Nu gaan we een formule afleiden die voor een gegeven snelheid ALTIJD klopt. Dus ook als het niet een half is. Dat doet die gamma:

\(t=\gamma t \dagger \).

Nou laten we dan maar beginnen, met die gamma af te leiden.

Hoe ziet jouw spiegel er ook al weer uit?

[attachment=2546:relativiteit_1.jpg]

Jouw foton gaat op en neer, want jij staat ook op de auto. Hoe lang duurt het dan voordat een foton van boven naar beneden is gegaan? Dat duurt zo lang als de afstand gedeeld door de snelheid. Denk maar na bij een makkelijk voorbeeld. Als jij van Amsterdam naar Hilversum gaat en je wilt weten hoe lang dat duurt, dan pak je de afstand (50 km of zoiets) en dat deel je dan door de gemiddelde snelheid in de auto 100 km/h. Dan doe je er dus een half uur over (50/100 is een half). Logisch toch? BEDENK OF JE DAT LOGISCH VIND.

Dus als de afstand tussen de spiegels "a" heet, duren jouw tikken:

\(t=\frac{a}{c}\)

Waar c de snelheid van het licht is. Snap je dat? Dus de afstand tussen de twee spiegels gedeeld door de snelheid van het licht is hoe lang het duurt voordat het foton weer terugkaatst (50 km gedeeld door 100 km/h). Ga voor jezelf na of je dat logisch vindt.

Voor mij legt het foton niet de afstand a af, maar legt hij de afstand d (c is al de lichtsnelheid vandaar dat ik d kies) af. Kijk maar in onderstaand plaatje, daar staan BEIDE situaties.

relativiteit8 766 keer bekeken

Links zie je jouw foton, die afstand a aflegt met de lichtsnelheid c. Rechts zie je wat ik zie, namelijk het foton wat de afstand d aflegt met de snelheid c.

Nu gaan wat wat goochelen met getalletjes. We weten namelijk dat we het eens moeten zijn over de snelheid van het licht. Laten we dan eerst zeggen hoe ik het foton zie gaan en hoe lang het volgens mijn klokje duurt:

\(t \dagger = \frac{d}{c}\)

Echter we hebben nu een nieuwe d geintroduceert en dat vind ik wat onhandig, dus ik wil het eigenlijk uitdrukken in iets met wat ik al weet. Ik weet namelijk niet wat d is, en dat is behoorlijk lastig te meten. Ik weet wel de stelling van pythagoras die zegt in het rechterplaatje:

\(a^2+b^2=d^2\)

Dus als ik aan beide kanten van de stelling van pythagoras de wortel neem, dan valt de kwadraat boven de d weg:

\(\sqrt{a^2+b^2}=d\)

Zie je dat we dit kunnen invullen in de formule voor \(t \dagger\)

\(t \dagger = \frac{d}{c}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\)

Nu lijkt het alsof we hopeloos veel verder van huis zijn, want we hebben nu een onbekende b. Echter die b weten we wel degelijk, want dat is de afstand die de auto heeft afgelegd in de tijd dat het foton op en neer ging. Denk daar eens goed over na.

Ofwel die b is niets anders dan de snelheid van de auto vermenigvuldigt met de tijd die het duurde om op en neer te gaan. Oftewel. \(b=vt \dagger\)

Dit geeft:

\(t \dagger = \frac{d}{c}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}=\frac{\sqrt{a^2+(vt\dagger)^{2}}}{c}\)

Goed, tot zover, moet morgen weer vroeg aan de slag. Laat weten waar je vast loopt en of dit helpt. Denk bij elke stap goed na. Ik zeg niet dat je dat niet al gedaan hebt, ik weet natuurlijk niet hoe lang je hier mee bezig bent geweest, dat je aangeeft dat je het niet begrijpt. Maar het is niet meer dan logisch dat je even nodig hebt om hiermee gewend te raken. DUS GEEF NIET OP!!! Je bent in de voetsporen aan het treden van Einstein (niet helemaal hij deed het iets anders, maar dit werkt net zo goed).

Let me know.

[Hakan_G]

Ik denk dat ik het begrijp. En volgens mij ziet iemand de foton in de rijdende auto als een zigzag, omdat de foton als het ware "meegetrokken" wordt door de wind o.i.d. Ik kan het niet uitleggen, maar ik heb het wel door! Je kunt het vergelijken met een object dat je uit een auto gooit.

[StrangeQuark]

Ik denk dat ik het begrijp.

Dat is prachtig natuurlijk, maar we zijn er nog niet. We moeten nog verder gamma berekenen. Je weet nu dat gamma eruit ziet als

\(\frac{1}{1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}}\)

en dat is nog niet wat we hebben natuurlijk. Snap je alle stappen, waarmee we tot het laatste zijn gekomen?

\(t \dagger = \frac{d}{c}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}=\frac{\sqrt{a^2+(vt\dagger)^{2}}}{c}\)

Want je bent er namelijk nu bijna. Als we hier mee gaan goochelen, komen we al snel tot gamma!!! Als we dit oplossen en de \(t=\frac{a}{c}\) invullen zijn we er al namelijk. Ga eens uit proberen zou ik zeggen.

Jullie zijn goed bezig.

Edit: Ik had je toevoeging nog niet gezien. Net toevallig tegelijkertijd op het forum.

Ik denk dat ik het begrijp. En volgens mij ziet iemand de foton in de rijdende auto als een zigzag, omdat de foton als het ware "meegetrokken" wordt door de wind o.i.d. Ik kan het niet uitleggen, maar ik heb het wel door! Je kunt het vergelijken met een object dat je uit een auto gooit.

Dit is je hele reactie. Het zou zelfs werken zonder wind. Je moet denken aan dat je door de ramen van een auto heen kijkt en op de achterbank licht de spiegel. Als ik kijk naar de achterbank die van links naar rechts gaat, dan zie ik een foton schuin naar rechtsboven gaan en dan naar rechtsonder en dan naar rechtsboven enz. Dat is puur de snelheid van de auto (naar rechts) opgeteld bij de snelheid van het foton dat op en neer gaat.

[Hakan_G]

Ik kon het bericht niet wijzigen, dan maar zo:

Maar met de formule bereken je toch gewoon de tijd die een foton nodig heeft om volgens jou (de stilstaande observator) een bepaalde afstand af te leggen?

Het rare is dat als ik er een vergelijking van maak, ik op a² + (v*t|)² uitkom.

[StrangeQuark]

Deze briljante opmerking laat zien dat je het goed begrijpt. En dat is natuurlijk ook zo. Maar dat was niet waar we naar op zoek waren. We waren op zoek naar een formule die er voor zorgt dat ik mijn klok in jouw klok kan omrekenen. Doen we dat namelijk, en berekenen we de gamma, dan kunnen we met diezelfde gamma ook lengtecontracties en massatoenamen berekenen.

Dus we hebben nu:

\(t \dagger = \frac{d}{c}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}=\frac{\sqrt{a^2+(vt\dagger)^{2}}}{c}\)

maar we zijn op zoek naar:

\(t=\gamma t \dagger \)

Een kwestie van de \(t\dagger\) eruit halen en wat husselen en de \(t=\frac{a}{c}\) eraan toevoegen en je bent klaar.

[Hakan_G]

Nu loop ik vast. Ik weet niet hoe ik via die formule (waarmee je t| kunt berekenen) op de tweede formule (t = gamma*t|) kunt komen.

[StrangeQuark]

Wat heb je tot nu toe gedaan? Ben wel benieuwd.

laat ik je in ieder geval iets op weg helpen.

\(t \dagger = \frac{d}{c}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}=\frac{\sqrt{a^2+(vt\dagger)^{2}}}{c}\)

Laten we eerst de hele zaak eens kwadrateren om de wortel weg te halen.

\(\left (t \dagger \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{a^2+(vt\dagger)^{2}}}{c} \right)^2\)

\(\left (t \dagger \right)^2 = \frac{a^2+(vt\dagger)^{2}}{c^2} \)

Vermenigvuldig beide kanten met c²:

\(\left (c \cdot t \dagger \right)^2 = a^2+(vt\dagger)^{2}\)

Kan jij eens proberen om \(t \dagger=...\) te krijgen zonder een \(t \dagger \) aan de rechterkant. Is misschien even puzzelen en het is niet erg als je er niet uitkomt.

Laat me ook ff weten wat je allemaal probeert, dan kan ik je misschien beter helpen zonder al teveel voor te zeggen. Je bent er bijna!

[Hakan_G]

Ik deel eerst de t| van de linkerkant door t|, waardoor ik ik c²*t| overhoudt. Aan de rechterkant doe ik hetzelfde, waardoor ik a² + v²*t| overhoudt.

Het rare is dat ik dan c*t| = a² + v²*t| overhoudt en dus niet meer verder kan.

Wat doe ik fout?

[StrangeQuark]

Het is makkelijker om alles in kwadraatjes te houden en niet te delen door t|, wat je fout doet is dat als je aan de rechterkant deelt door t| dat je dan ook a^2 moet delen door t|. Zie je dat je dat niet hebt gedaan?

20=8+12 (beide kanten mag je delen door 4, maar doe het dan ook met alle onderdelen.

20/4=8/4+12/4

5=2+3 en dat klopt ook weer. Dus je mag wel beide kanten delen door hetzelfde, als je het dan ook maar echt aan beide kanten doet.

Goede poging.

Begin weer opnieuw met:

\(\left (c \cdot t \dagger \right)^2 = a^2+(vt\dagger)^{2}\)

En zorg er nu eens voor dat je alle termen met een t| erin naar links haalt en alle termen zonder t| rechts houdt. Ga dan met haakjes werken is de hint.