Statisch onbepaalde balk

[jhnbk]

Methode van Cross

De aanvangsmomenten zijn:

\(C^\circ _{BC} =\frac{p l^2}{8} \)

\(C^\circ _{BA} = -\frac{p l^2}{8} \)

Voor de methode van cross zal men telkens één knoop lossen en de momenten in de knoop verdelen over de staven. Zo gaat men door tot de momenten te klein zijn om nog te vereffenen.

Hier is er maar één knoop op te vereffen en die is tevens al in evenwicht dus hebben we ineens de oplossing.

Dwarskrachten:

De isostatische bijdragen zullen zijn

\(\frac{p l}{2}\)

Dan is

\(V_{BA}=\frac{C_{BA}}{l} - \frac{p l}{2} = \frac{-5}{8} pl\)

en

\(V_{BC}=\frac{C_{BC}}{l} + \frac{p l}{2} = \frac{5}{8} pl\)

De reactiekracht is dan niets anders dan de sprong in de functie, dus:

\(R_B=|V_{BA}-V_{BC}|=\frac54 pl\)

Voor een volledige theorie kan er best in boeken en op internet gekeken worden.

[jhnbk]

Driemomentenvergelijking van Clapeyron

De algemene vergelijking is:

\(M_A \frac{l_{AB}}{I_{AB}} + 2 \left( \frac{l_{AB}}{I_{AB}} + \frac{l_{BC}}{I_{BC}}\right) M_B + \frac{l_{BC}}{I_{BC}} M_C = \frac{l_{AB}}{I_{AB}} (M^\circ _{AB}+2M^\circ _{BA} ) + \frac{l_{BC}}{I_{BC}} (2M^\circ _{BC}+M^\circ _{CB})\)

Deze geldt ineens voor ons knooppunt B en kan heel snel vereenvoudigd worden tot:

\(4 M_B = 2 M^\circ _{BA} + 2 M^\circ _{BC}\)

Deze waarden weten we al uit de vorige uitwerking, maar opgelet: het zijn hier geen cross-momenten maar gewone buigmomenten dus zijn ze beiden negatief.

dus:

\(M_B = - \frac{p l^2}{8}\)

Analoog met cross nu:

\(V_{BA}=\frac{M_{B}}{l} - \frac{p l}{2} = \frac{-5}{8} pl\)

\(V_{BC}=\frac{-M_{B}}{l} + \frac{p l}{2} = \frac{5}{8} pl\)

enz.

[jhnbk]

Ik wil hier nog aan toevoegen dat de methode van Castigliano eenvoudig kan worden uitgebreid naar de krachtenmethode.