Wiskunde andersom

[Ralphion]

Normaal gesproken is er een "rekensom" waar uit een uitkomst uit ontstaat.

Nu was ik eens wat aan het filosoferen en vroeg me af of het ook andersom kon met als belangrijkste eigenschap van de rekensom dat deze zo kort mogelijk met zo'n klein mogelijke getallen wordt opgelost.

Voorbeeldje:

uitkomst is: 120 -> Rekensom is 5!

uitkomst is: 125 -> Rekensom is 5^3

Deze zijn vrij eenvoudig op te lossen, maar wat nu als het grote getallen zijn dat niet met één bewerking (exponent,faculteit,keer, plus, min enz.) opgelost kan worden.

[TD]

En bovendien is er nog een verschil tussen "zien" of "aanvoelen" dat (bijvoorbeeld) 5! de "kortste" manier is en dat ook effectief bewijzen (hetgeen al een preciezere definitie van "kortste" vereist...!).

[Ralphion]

Ik snap wat je bedoelt. Laten we "kortste" gebruiken als manier van notatie. Als er afspraken worden gemaakt dat macht als x^y en faculteit als x! enz. wordt geschreven.

[TD]

En dan bedoel je dat x! "korter" is dan x^y? Volledig waterdicht is dit toch nog niet, wat als er notaties zijn die evenveel "tekens" gebruiken? En dan blijft het probleem: het is nog niet zomaar te bewijzen dat een zekere notatie ook de kortste is!

[Ralphion]

evenveel tekens is geen probleem. Dat maakt niet uit. Dan zijn er meerdere "goede rekensommen".

En dan blijft het probleem: het is nog niet zomaar te bewijzen dat een zekere notatie ook de kortste is!

Je bedoelt dat het moeilijk is om te kijken of de gekozen notatie ook daadwerkelijk de kortste is? Maar hoe stel je het dan voor om er achter te komen wat een korte notatie is voor een bepaalde uitkomst?

[Phys]

(Lengte van) notatie lijkt me een heel slecht criterium in de wiskunde. Ik ben immers vrij om een notatie te definiëren. Dan kun je misschien zeggen: "houd het bij de conventionele notaties", maar die zijn er lang niet altijd.

Om een simpel voorbeeld te noemen:

\(\dot{x}\)

,

\(\frac{dx}{dt}\)

. Bovendien:

\(\sqrt{x}\)

en

\(x^{\frac{1}{2}}\)

zijn twee notaties van 'hetzelfde'. Wat doe je met dit soort "ambiguïteiten"?

[TD]

Je bedoelt dat het moeilijk is om te kijken of de gekozen notatie ook daadwerkelijk de kortste is? Maar hoe stel je het dan voor om er achter te komen wat een korte notatie is voor een bepaalde uitkomst?

Ik bedoel: jij zegt dat de "oplossing" voor de eenvoudige opgave 125 gelijk is aan 5³ - maar wie zegt dat er geen kortere bestaat? Je kan nu wel zeggen: "dat zie je toch gemakkelijk in"? Maar dat is geen bewijs natuurlijk... En dat "inzien" zal nog moeilijker worden bij grotere opgaven.

[Ralphion]

@Phys: Wat zou jij dan een goed criterium vinden?

@TD: Je suggereert dat dit praktisch bijna onmogelijk is? Zo ja, Laat ik de vraag anders iets aanpassen.

Er zijn een zeer veel mogelijkheden om bijvoorbeeld bij het getal 8 te komen.

8 = 1+1+1+1+1+1+1+1.

8 = 2^3.

Het is (lijkt mij) duidelijk dat de tweede korter genoteerd staat dan de eerste. Zijn er een aantal trucjes om zo bij een "redelijk korte rekensom" te komen?

[TD]

Oké, maar zelfs als we duidelijk vinden dat 2³ korter is dan 1+1+1+1+1+1+1+1, weten we nog niet of 2³ ook de kortste manier is - dat is mijn opmerking.

[Rogier]

En tellen dingen zoals

Er zijn een zeer veel mogelijkheden om bijvoorbeeld bij het getal 8 te komen.

8 = 1+1+1+1+1+1+1+1.

8 = 2^3.

Het is (lijkt mij) duidelijk dat de tweede korter genoteerd staat dan de eerste.

Even om een goed beeld te krijgen van wat voor soort oplossingen je precies zoekt (dus niet om flauw te doen), maar is de kortste oplossing in dit geval: 8 ?

[Ralphion]

@Rogier: Yep, In dit geval wel. Dit is even ter illustratie, maar als je met grotere getallen gaat werken zoals in jouw voorbeeld:

65536 <-> 4^2 is dit niet meer het geval.

@TD: Ik snap je opmerking. Maar is er nou een mogelijkheid om een "rekensom" te vinden en het liefst zo kort mogelijk. Dus niet per definitie de kortste, maar een korte. Zoals ik in mijn vorige post aangaf is:

1+1+1+1+1+1+1+1 ook 8, maar niet echt kort te noemen.

[TD]

Oké, dan maakt het wiskundig-technisch al wat gemakkelijker (bewijs immers maar eens dat een schrijfwijze de kortste is...) maar waar ben je nu dan precies naar op zoek? Een algemene methode? Ik denk niet dat die er is.

[Ralphion]

Ja, ben ik het mee eens.

En ja, eigenlijk een algemene methode. Je merkt op dat je denkt dat die er niet is. Zijn er dan wel een aantal methodes hoe ik te werk kan gaan bij bepaalde "uitkomsten". Of hoe bedoel je?

Want als ik een aantal methodes gebruik om te kijken wat een "korte rekensom" bij een "uitkomst" is, is het doel ook bereikt.

[TD]

Ik zie niet direct echte methodes; getallen die als n! te schrijven zijn voor een zekere n zijn natuurlijk zo kort te noteren, je kan getallen ontbinden in priemfactoren om te zien of er elegante notaties met een macht mogelijk zijn, ... Dat zijn natuurlijk maar oppervlakkige regels die slechts in heel specifieke gevallen gaan 'werken'.

[Ralphion]

Zelf had ik gedacht om via een c geschreven programma te zoeken naar bv de faculteit. die van de "uitkomst" af te halen en zo door te gaan totdat de "uitkomst" nul is. Maar die oplossing was niet echt optimaal.

Iemand anders nog suggesties?