[wiskunde] vlak door punten (1,2,3) (-1,1,0) (0,0,2)

[TD]

Ik begrijp niet goed wat die (1,2) enzovoort achter je richtingsvector doet.

Waar je bij de parametervoorstelling van een vlak één punt (steunvector) en twee richtingen nodig hebt, is dat bij een lijn slechts één richting.

[ntstudent]

punt(1) - punt(2) = richtingsvector(1,2) (mijn notatiewijze is een beetje onduidelijk)

punt(1) - punt(2) = richtingvector A

punt(1) + richtingsvector A * variabele

(en ook zo met de rest, klopt dit?)

PS: gewijzigd, mijn excuses TD "punt(1) * richtingsvector A * variabele" naar: "punt(1) + richtingsvector A * variabele"

[TD]

punt(1) * richtingsvector A * variabele

Bedoel je als eerste * eigenlijk + en met variabele, parameter?

Voor het stelsel parametervergelijkingen, zie gewoon hier...

Maar nu is de vraag: vertrekkend van twee vlakken met gegeven cartesische vergelijking, geef een stelsel parametervergelijkingen van de snijlijn. Enig idee hoe je dit zou aanpakken? Geef de vergelijkingen van de drie vlakken al eens overzichtelijk weer.

[ntstudent]

Mijn uitwerkingen:

Eerste parametervoorstelling:

\( (2,1,2) - (1,0,1) = (1,1,1)\)

\(x1_{1} = 2 + \lambda\)

\(x1_{2} = 1 + \lambda\)

\(x1_{3} = 2 + \lambda\)

Tweede parametervoorstelling:

\( (2,1,2) - (1,0,0) = (1,1,2)\)

\(x2_{1} = 2 + \mu\)

\(x2_{2} = 1 + \mu\)

\(x2_{3} = 2 + 2 \mu\)

Derde parametervoorstelling:

\( (1,0,1) - (1,0,0) = (0,0,1)\)

\(x3_{1} = 1 \)

\(x3_{2} = 0\)

\(x3_{3} = 1 + 1 \nu\)

Om de snijpunt te vinden, denk ik dat ik een intersectie nodig heb van alledrie de lijnen. Dus moet ik al die parametervoorstellingen elimineren naar cartesische vergelijkingen. Maar dan kom ik uit op 3 onbekenden... die ik volgens mij niet echt kan oplossen

PS: kloppen mijn parametervoorstellingen?

[TD]

Geen idee, ik kan niet volgen. Geef eens eerst de drie vlakken waar deze opgave van vertrekt.

[ntstudent]

Bepaal bij elk van de volgende vlakken in een vergelijking.

Het vlak door de punten (1,0,1), (2,1,2), (1,0,0).

In de vorige opgave zijn drie vlakken gegeven. Deze vlakken snijden elkaar paarsgewijs in een drietal lijnen. Bepaal van elk van die lijnen een prametervoorstelling. Toon ook aan dat die drie lijnen door één punt gaan en bepaal van dat punt de coordinaten.

(wat ik dus eerst zei, de drie vlakken zijn: 1,0,1 en 2,1,2 en 1,0,0.)

[TD]

Nee, dat zijn drie punten. Daar gaat één vlak door. Dan zijn er (dacht ik toch...?) nog twee andere opgaven geweest waar je de vergelijking van een vlak moest bepalen (zie bijvoorbeeld hier). In het totaal zou je dus drie vlakken moeten hebben...

[ntstudent]

Oh sorry, sorry!

het is

\(-x_{1} + 2x_{3} = 5\)

\( 2x_{1} -x_{2} +3x_{3} = 1\)

\(x_{1} +x_{2} + x_{3}\)

Mijn excuses ik keek verkeerd, :$.

[TD]

Oké, dit zijn de vergelijkingen van drie vlakken. Per twee hebben ze steeds een snijlijn, van die lijnen moet je een parametervoorstelling bepalen. Kies alvast twee van de drie vlakken - heb je zelf enig idee om dit aan te pakken?

[ntstudent]

Ik zou zeggen bijv. van

\(2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 1\)

en

\( x_{1} +x_{2} + x_{3} = 0 \)

. Ze onder elkaar zetten en dan die

\(x_{3}\)

elimineren met gauss elimininatie...

klopt dit? Zo niet, dan heb ik eigenlijk geen idee...

[TD]

Je gaat inderdaad oplossen naar twee van de drie onbekenden, de derde kan je als vrije parameter kiezen.

Dat kan ook zonder Gauss-eliminatie, gewoon met substitutie zoals we hiervoor deden werkt ook prima.

Stel x₃ = λ en los het stelsel op naar x₁ en x₂.

[ntstudent]

Okay, ik probeer het even:

\(2x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 1\)

(vergelijking 1)

\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\)

(vergelijking 2)

\(x_{3} = \lambda\)

\(x_{1} = x_{2} - 3\lambda - 1\)

(vergelijking 1)

\(x_{1} = -x_{2} + \lambda \)

(vergelijking 2)

Okay, maar die

\(x_{2}\)

, wat kan ik daarmee doen? Want als ik normaliter oplos naar 3 variabele stel ik

\(x_{2}, x_{3}\)

aan die

\(\lambda, \mu\)

maar in dit geval houd ik ze over...

Moet ik dan een gauss eliminatie doen als vergelijking 1 - vergelijking 2? Dan heb ik namelijk ook die

\(x_{2}\)

weg, maar hoe zou ik dit kunnen oplossen ook nog naar x_{2}? (dan krijg ik namelijk iets met x_{1} aan de rechterkant...)

[TD]

Vervang bijvoorbeeld in de eerste vergelijking x(1) door de uitdrukking die je ervoor gevonden hebt in de tweede; de nieuwe vergelijking bevat alleen x(2) dus die kan je daaruit halen. Daarna gebruik je dit om x(1) te bepalen.

[ntstudent]

Ik kom nu uit op het volgende:

\(2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 1\)

\(x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0\)

Stel

\(x_{3} = \lambda\)

\(2x_{1} - x_{2} + 3\lambda = 1\)

\(x_{1} + x_{2} + \lambda = 0\)

herschrijven levert:

\(2x_{1} = x_{2} - 3 \lambda + 1\)

\(x_{2} = -x_{1} - \lambda \)

invullen geeft:

\(2x_{1} = -x_{1} - \lambda - 3 \lambda + 1\)

\(x_{1} = 1 - \frac{1}{3} \lambda\)

invullen geeft:

\(x_{2} = -(1- \frac{1}{3} \lambda) - \lambda\)

\(x_{2} = -1 - \frac{2}{3} \lamda\)

Alhoewel ik alleen niet zo zeker ben wat ik nu doe, aangezien ik nu bij een parametervoorstelling kom met "maar"

\(x_{1}, x_{2}\)

.

Het antwoord op de opgave is:

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-1,0,1) + \lambda (-4,1,3)\)

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,-11,0) + \mu (2,7,1)\)

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,5,0) + \nu (2,-3,1)\)

[TD]

invullen geeft:

\(2x_{1} = -x_{1} - \lambda - 3 \lambda + 1\)

\(x_{1} = 1 - \frac{1}{3} \lambda\)

Hier gaat het mis:

\(2x_1 = - x_1 - \lambda - 3\lambda + 1 \Leftrightarrow 3x_1 = - 4\lambda + 1 \Leftrightarrow x_1 = \cdots \)

Je hebt niet alleen x(1) en x(2), ook x(3) heb je; die koos je namelijk precies als λ!