[wiskunde] vlak door punten (1,2,3) (-1,1,0) (0,0,2)

[ntstudent]

Oh natuurlijk het gaat mis omdat die

\(x_{1}\)

en die andere

\(x_{1}\)

verschillend zijn toch? En die lambda's mag ik ook niet bij elkaar optellen omdat ze eigenlijk "anders" zijn toch? Of heb ik het fout?

[TD]

Nee hoor, je mag ze optellen maar dat deed je verkeerd! 2x(1) = -x(1) wordt links 3x(1), niet gewoon x(1)... De λ's heb ik toch ook gewoon samengenomen?

[ntstudent]

\(3x_{1} = -\lambda - 3\lambda + 1\)

\(x_{1} = -\frac{4}{3} +\frac{1}{3}\)

\(x_{1} = \frac{1}{3}- \frac{1}{3} \lambda\)

(foutje de een ben ik vergeten te delen.)

Invullen in de 2e geeft:

\(x_{2} = -(\frac{1}{3}- \frac{1}{3} \lambda) - \lambda\)

\(x_{2} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \lambda\)

PS: ik moet het dan doen van: verg1 en verg 2, verg 2 en verg 3 en verg 1 en verg 3 toch?

PS: excuses, hoorde nog een lambda teken erbij wat maakt:

\(x_{1} = -\frac{4}{3} +\frac{1}{3}\lambda\)

[TD]

\(3x_{1} = -\lambda - 3\lambda + 1\)

\(x_{1} = -\frac{4}{3} +\frac{1}{3}\)

\(x_{1} = \frac{1}{3}- \frac{1}{3} \lambda\)

Wat doet die derde regel hier nog? In de tweede laat je λ opeens vallen...

x₁ = -4/3 λ + 1/3

Dan uit x₂ = -x₁ - λ = 4/3 λ - 1/3 - λ = 1/3 λ - 1/3.

Je had ook nog x₃ = λ.

[ntstudent]

Ik kom op de volgende dingen uit:

Bij:

\(2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 1\)

en

\( x_{1} + x_{2} + x_{3} \)

:

\(x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \lambda\)

\(x_{2} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \lambda\)

Bij:

\(2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 1\)

en

\(-x_{1} + 2x_{3} = 5\)

\(x_{1} = -5 + 2 \mu\)

\(x_{2} = -11 + 7 \mu\)

\(x_{3} = \mu\)

Bij:

\(-x_{1} + 2x_{3} = 5\)

en

\( x_{1} + x_{2} + x_{3} \)

:

\(x_{1} = 2 \nu -5\)

\(x_{2} = -3 \nu + 5\)

\(x_{3} = \nu\)

Okay, dank u wel voor het helpen hierbij. Hoe kan ik aantonen dat ze door een punt gaan?

[TD]

Bij:

\(2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 1\)

Okay, dank u wel voor het helpen hierbij. Hoe kan ik aantonen dat ze door een punt gaan?

Ik heb je andere twee parametervoorstellingen niet nagekeken. Stel dat ze juist zijn: bepaal het snijpunt van twee lijnen en kijk of dit punt ook op de derde lijn ligt.

[ntstudent]

Die regels die u toepast om mijn breuken weg te werken, mag dat altijd?

PS: ze kloppen allemaal...

[TD]

Het ligt eraan wat je bedoelt met "altijd"... Je mag 1/3 natuurlijk in het algemeen niet zomaar vervangen door -1! Wat ik hier doe is een veelvoud van de richtingsvectoren bij de steunvector tellen (dat mag, want die vector is nog steeds een punt van de lijn) en de richtingsvector vervangen door een (niet-nul) veelvoud (dat mag, want die vector bepaalt nog steeds dezelfde richting - een richtingsvector is immers slechts op veelvouden na bepaald).

[ntstudent]

Ik snapte wat u deed =). Maar de stappen die u doet / beschrijft mogen dus altijd =) (in woorden heeft u ze beschreven zoals: Je mag steeds zo'n veelvoud van de richtingsvector bij de steunvector tellen, ik doe dat één keer (λ=1) (is bijvoorbeeld zo'n stap)) ?

[TD]

Inderdaad, dat mag altijd bij zo'n parametervoorstelling. Als steunvector mag je namelijk eender welke vector nemen die op de lijn (of vlak, als het over een vlak gaat) ligt. Gegeven een punt dat er op ligt, krijg je steeds nieuwe punten van de lijn door een veelvoud van de richtingsvector erbij te tellen (dat is precies wat de richtingsvector 'doet').

[ntstudent]

Volgens mij begrijp ik het niet zo goed, maar moet ik van mijn parametervoorstelling van de lijnen de oorspronkelijke cartesische vergelijkingen maken en daarvan het oplossen met 2 variabelen? (dus weer met 2 vlaktes)

[TD]

Nee hoor, je kan werken met de parametervoorstellingen. Ik neem even je modeloplossingen om zeker te zijn dat het gaat uitkomen, je kan zelf (proberen) nagaan of jouw oplossingen hiermee overeenkomen. We hebben dus:

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-1,0,1) + \lambda (-4,1,3)\)

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,-11,0) + \mu (2,7,1)\)

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,5,0) + \nu (2,-3,1)\)

Stellen we de eerste twee gelijk aan elkaar om het snijpunt te vinden, dan krijg je:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 4\lambda = - 5 + 2\mu \\ \lambda = - 11 + 7\mu \\ 1 + 3\lambda = \mu \\ \end{array} \right.\)

De eerste twee lijnen snijden als je λ en μ kan vinden zodat bovenstaand stelsel klopt.

[ntstudent]

Ik vind voor

\(\lambda = \frac{1}{5} \)

en voor

\(\mu = \frac{8}{5}\)

. Nu weet ik dat ze beide snijden.

Nu probeer ik

\(\nu\)

te vinden, met mijn eigen waardes dan kom ik uit op dat

\(\nu = \mu\)

, volgens mij kan dat niet. Dus ga ik nu met de modelwaardes werken:

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,-11,0) + \mu (2,7,1)\)

\((x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = (-5,5,0) + \nu (2,-3,1)\)

En dan zie ik ook dat

\(\nu = \mu\)

..

Klopt dit of heb ik dit fout?

[TD]

Ik vind voor

\(\lambda = \frac{1}{5} \)

en voor

\(\mu = \frac{8}{5}\)

. Nu weet ik dat ze beide snijden.

Dit klopt, je weet nu dat de eerste twee lijnen alvast snijdend zijn. Nu kan je omgekeerd werken, dat is gemakkelijker. Gebruik de eerste (of tweede) vergelijking met de hierboven gevonden waarde van λ (of μ) om zo het snijpunt te vinden. Vul dit punt in het stelsel parametervergelijkingen van de derde, overblijvende lijn en kijk of het er aan voldoet.

[ntstudent]

Dat heb ik gedaan, maar bij mij geeft het als antwoord:

\(\nu = \frac{8}{5}\)

... en volgens mijn antwoordenboek moet het zijn:

\(\nu = -\frac{9}{5}\)

.

Wat ik deed was:

\(-1-4 \lambda = 2 \nu -5 \)

\(\lambda = -3 \nu +5\)

\(1 + 3 \lambda = \nu\)

\(1+3\lambda\)

invullen voor

\(\nu\)

dan krijg je voor

\(\lambda = \frac{1}{5} \)

en dat vul je in de derde vergelijking in en dan krijg je voor

\(\nu = \frac{8}{5}\)

...