[Wiskunde] Limiet

[Cycloon]

Eerst een klein vraagje over deze limiet:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}}\)

In mijn antwoorden staat 2 als oplossing, die vind ik, maar is -2 ook geen oplossing?

En dan deze:

\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)

Geen idee wat ik hiermee moet doen

[TD]

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}}\)

In mijn antwoorden staat 2 als oplossing, die vind ik, maar is -2 ook geen oplossing?

Als een limiet bestaat, dan is deze enig. De noemer is altijd positief en de teller ook als je naar +inf gaat.

\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)

Geen idee wat ik hiermee moet doen  

Mag l'Hôpital (twee keer) of moet het zonder? Zonder: ga naar de halve hoek (sinus).

[Cycloon]

Eigelijk is het zonder l'hopital in deze oefening. Eens kijken wat ik dan kan doen met die halve hoek.

Voor die eerste limiet: Als je de grootste macht vooropzet in de noemer voor \(x\rightarrow -\infty\) dan krijg je toch \(-x^{2}\sqrt{1+0}\)? Wat dan toch resultuurt in een positieve teller en een negatieve noemer?

[physicalattraction]

Cycloon, je stap

\(\sqrt{x^4} = -x^2 \sqrt{1}\)

voor negatieve getallen is niet geldig. Er geldt namelijk dat

\((-x)^4=x^4\)

en dus

\(\sqrt{(-x)^4} = \sqrt{x^4} = x^2\)

, ongeacht of

\(x\)

negatief is of niet.

Verder weet ik niet op welk niveau je wiskunde doet. Ik zou de tweede doen met de Taylor reeks

\(\cos(x) = 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+...\)

, maar kijk zelf maar even of deze hint voor je duidelijk en voldoende is.

[Cycloon]

Oh ok, ja dom van mij

En de taylor reeks ken ik nog niet...

[Morzon]

ik zou de laatste zo doen:

\(\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1-\cos x}{x^2 -1 +1}=\frac{1-\cos x}{(x+1)(x-1)+1} = \frac{\frac{1-\cos x}{x-1}}{\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}}=\frac{\frac{1-\cos x}{x-1}}{(x+1)+\frac{1}{x-1}}\)

[TD]

Voor die eerste limiet: Als je de grootste macht vooropzet in de noemer voor \(x\rightarrow -\infty\) dan krijg je toch \(-x^{2}\sqrt{1+0}\)? Wat dan toch resultuurt in een positieve teller en een negatieve noemer?

Ik dacht dat het de limiet voor x naar +oneindig was? In elk geval: sqrt(x²) = |x| en niet x.

[TD]

ik zou de laatste zo doen:

\(\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1-\cos x}{x^2 -1 +1}=\frac{1-\cos x}{(x+1)(x-1)+1} = \frac{\frac{1-\cos x}{x-1}}{\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}}=\frac{\frac{1-\cos x}{x-1}}{(x+1)+\frac{1}{x-1}}\)

Of mijn suggestie met de halve hoek van sinus:

\(\frac{{1 - \cos x}}{{x^2 }} = \frac{{1 - \left( {1 - 2\sin ^2 \frac{x}{2}} \right)}}{{x^2 }} = \frac{{2\sin ^2 \frac{x}{2}}}{{4\left( {\frac{x}{2}} \right)^2 }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin a}}{a}} \right)^2 \)

Met a = x/2, laatste stuk is dan de standaardlimiet en geeft 1, met de voorfactor dus 1/2.

[Morzon]

bij mij komt nul uit en bij jou 0.5?

[Cycloon]

Voor die eerste limiet: Als je de grootste macht vooropzet in de noemer voor \(x\rightarrow -\infty\) dan krijg je toch \(-x^{2}\sqrt{1+0}\)? Wat dan toch resultuurt in een positieve teller en een negatieve noemer?

Ik dacht dat het de limiet voor x naar +oneindig was? In elk geval: sqrt(x²) = |x| en niet x.

Als er geen teken voor oneindig staat moet je toch altijd + en - oneindig uitrekenen? Alleszins dat werd ons altijd verteld (indien er toch zo'n addertje onder het gras zit zoals \(\sqrt{x^2}\)

[Morzon]

ow wacht, die van mij klopt niet:(

[TD]

Als er geen teken voor oneindig staat moet je toch altijd + en - oneindig uitrekenen? Alleszins dat werd ons altijd verteld  

Het is maar wat je leerkracht wil. Ik interpreteer gewoonlijk als + , anders expliciet .

[TD]

bij mij komt nul uit en bij jou 0.5?

ow wacht, die van mij klopt niet:(

Er is niets mis met je stappen, maar je zit er nog steeds met de onbepaaldheid 0/0.

[Morzon]

bij mij komt nul uit en bij jou 0.5?

ow wacht, die van mij klopt niet:(

Er is niets mis met je stappen, maar je zit er nog steeds met de onbepaaldheid 0/0.

ja ik had

\(\frac{\frac{1-\cos x}{x-1}}{(x+1)+\frac{1}{x-1}}\)

gesplitst in

\(\frac{1-\cos x}{\frac{x-1}{x+1}} + 1- \cos x \)

vraag me niet waarom, want ik weet het ook niet

[Cycloon]

Ik heb er nog een paar

Eentje waar ik vermoed dat ik een kleine fout heb gemaakt:

\(\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{\lnx}-\frac{x}{x-1})=\frac{(x-1)-x\lnx}{\lnx(x-1)}\)

Dan met hopital:

\(\frac{1-\lnx+\frac{x}{x}}{\frac{(x-1)}{x}+\lnx}\)

Als ik dan 1 invul krijg ik 1/0 = \(\infty\) en het antwoord in het boek is 1/2?

En dan nog deze waar ik niet echt weet wat te doen:

\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} (tgx)^{\cosx}}\)

Ik was al begonnen met

\(=e^{\cosx\ln(tgx)}\)

En dan daar op die macht l'hopital, maar ik geraak er niet uit