[natuurkunde] horizontale slinger

[F4L]

Hallo,

Voor een praktische opdracht van natuurkunde hebben wij als onderwerp de horizontale slinger gekozen. Daarbij moeten wij kijken hoe het verband is tussen de lengte van de touwtjes en de afstand daar tussen. Dat te onderzoeken verband moeten wij aangeven in de vorm van een formule. Nu heb ik wat informatie opgezocht op internet en vond de volgende links:

http://www.natuurkundeolympiade.nl/opgaven...cticum-2005.pdf (opgave)

http://www.natuurkundeolympiade.nl/opgaven...m-Uitw-2005.pdf (uitwerkingen)

www.natuurkunde.nl/vraagbaak/image?id=2320 (nog een handige link)

Bij beide links gaan ze ervan uit dat de hoek van rotatie klein is, maar wij gaan zeg maar een hoek van 45 graden nemen en laten dan de slinger los, kunnen we er dan van uitgaan dat die twee formules (die overigens ook nog onduidelijk zijn) nog steeds gelden?

Alvast bedankt

[Jan van de Velde]

Nee, dat van die kleine hoek is er expliciet bij vermeld. En niet voor niks.

De reden hiervoor zit hem in de afleiding van die formules, analoog aan de afleiding voor de simpelere mathematische slinger, waarin ook geldt dat bij kleine uitwijkingen de sinus van de uitwijkingshoek nagenoeg gelijk is aan de uitwijking gedeeld door de lengte, en vervolgens dan maar aan elkaar gelijk wordt gesteld. Maar ook die mag niet voor grotere afwijkingen worden gebruikt.

[F4L]

Ben net even naar mijn buurman geweest, en die zei ook dat het expliciet om een kleine hoek ging en dat snap ik nu ook. Ik ben intussen bij stap 2 (van die uitwerkingen) gekomen . Ik snap hoe ze aan F en aan x komen, alleen wanneer ze zeggen dat M = 2 x F x r = mg/4 x d^2/h x \Phi daar kom ik niet uit. Want wat nemen ze dan voor r? Nemen ze dan r = d. Maar dan zou je toch krijgen 2 x 0.5mg x (0.5 x d x \Phi)/h x d , en dat is volgens mij niet gelijk aan mg/4 x d^2/h x \Phi.

[bbusterr]

Ik denk dat het zo zit:

Ze schrijven M=2Fr, omdat dit de formule is voor het moment, Moment is Kracht maal Arm. Aangezien het hier een koppel betreft, wordt met 2 vermenigvuldigt. Het moment draait om het midden, dus een afstand

\(\frac{1}{2}d\)

van het draadje. Dat is dus ook de arm, r.

Dan krijg je:

\(r=\frac{1}{2}d\)

\(F=\frac{1}{2}mg\frac{x}{h}\)

\(x=\frac{1}{2}d\phi\)

Dus

\(F=\frac{1}{4}mg\frac{d}{h}\phi\)

Als je alles invult in M=2Fr krijg je:

\(M=2\cdot(\frac{1}{4}mg\frac{d}{h}\phi)\cdot(\frac{1}{2}d)\)

\(M=\frac{mg}{4}\frac{d^2}{h}\phi\)

Snap je?

[F4L]

Ja ik snap het nu, mijn fout was dat ik uitgegaan was van r = d, maar dat moest natuurlijk zijn r = 1/2 d. Beetje bij beetje begin ik nu de formules te snappen. Alleen dan komen ze bij de stap: voor roteren geldt M = I x (d^2 x (phi))/(d x t^2), waarom zetten ze dat er neer achter die I (dus (d^2 x (phi))/(d x t^2) )?

[Sjakko]

Alleen dan komen ze bij de stap: voor roteren geldt M = I x (d^2 x (phi))/(d x t^2), waarom zetten ze dat er neer achter die I (dus (d^2 x (phi))/(d x t^2) )?

Dat is gewoon een wet die geldt bij rotatie. Algemeen geldt de wet van Newton:

\(\sum F=m \frac{d^2 x}{d t^2}\)

ofwel

\(\sum F=ma\)

, in woorden: de som van alle krachten op een massa is gelijk aan de massa maal de versnelling van die massa in de richting van de krachtensom.

Als er sprake is van rotatie, dan gaat elk punt op het roterende lichaam met een andere snelheid (en versnelling) en kun je dus niet meer spreken van "de versnelling" maar wel van "de hoekversnelling" en dan gebruik je de wet voor rotatie:

\(\sum M=I \frac{d^2 \phi}{d t^2}\)

ofwel

\(\sum M=I \alpha\)

, in woorden: de som van alle momenten op een lichaam is gelijk aan het traagheidsmoment van dat lichaam rond de rotatie-as maal de hoekversnelling van dat lichaam rond de rotatie-as.

[F4L]

Oke, die hadden wij nog niet gehad bij natuurkunde. Dan blijft er nog maar één vraag voor mij over, en dat is voor mij de lastigste.

(d²φ)/(d²t) = -3 x (g x d²/h x l²) wordt:

(2pi/T²) = (3 x g x d²)/(h x l²)

Dat heeft volgens mij iets te maken met differentiaal vergelijkingen maar daar ben ik pas net mee begonnen. Dus dat snap ikn og niet helemaal.

[Sjakko]

Wat je daar doet, is een differentiaalvergelijking oplossen.

\(\frac{d^2 \phi}{dt^2}=-3 \frac{gd^2}{hl^2} \phi\)

is namelijk een differentiaalvergelijking, een tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking wel te verstaan. De oplossingsmethode wordt HIER kort besproken. Uiteindelijk zou je uit moeten komen op het derde "bolletje" op pagina 3. Ik denk niet dat jullie hier zonder goed uitgewerkt voorbeeld uit gaan komen, dus daarvoor zou ik Google raadplegen. Dan is het handig om de Engelse termen ook te kennen;

tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking = second order linear homogeneous differential equation

Als je de algemene oplossing hebt gevonden, dan dien je je beginvoorwaarden in te vullen waaruit je de onbekende coëfficiënten A en B kunt bepalen. Uit de gevonden oplossing en het verband tussen frequentie en trillingstijd haal je dan een uitdrukking voor de trillingstijd. Ik zou zeggen: Google maar eens flink.

[F4L]

Die lineaire tweede orde differentiaalvergelijking is toch een stap te ver voor mij, ik ga er dan maar gewoon van uit dat het klopt. Volgens de leraar hoefde we alleen de eindformule op te schrijven, maar zelf wilde ik graag het bewijs zo goed mogelijk snappen. Maar toch heel erg bedankt!!!

[dirkwb]

Die lineaire tweede orde differentiaalvergelijking is toch een stap te ver voor mij, ik ga er dan maar gewoon van uit dat het klopt. Volgens de leraar hoefde we alleen de eindformule op te schrijven, maar zelf wilde ik graag het bewijs zo goed mogelijk snappen. Maar toch heel erg bedankt!!!

Hte is niet zo moeilijk je zoekt een functie waarbij de tweede afgeleide zichzelf is op een constante na. Hier voldoet f(x) =0 aan maar ook een cosinus of een sinus.

[F4L]

Die snap ik niet helemaal, zou je dan kunnen zeggen sin(2pi) = 0 o.i.d.?

[Phys]

Weet je wat een afgeleide is? Zo nee, dan lijkt het me zinloos om differentiaalvergelijkingen te bestuderen. Alles op zijn tijd/volgorde.

[F4L]

Ik weet wat de afgeleide is.

[Sjakko]

Ik weet wat de afgeleide is.

Goed. Zoals Dirkwb al zei dien je dus op zoek te gaan naar

\(\phi (t)\)

waarvoor geldt

\(\frac{d^2 \phi}{dt^2}=-c \phi\)

met

\(c=3 \frac{gd^2}{hl^2}\)

= gewoon een constante.

Nu moet je je dus een functie

\(\phi (t)\)

bedenken die, als je die tweemaal afleidt,

\(-c \cdot \phi (t)\)

oplevert.

\(\phi (t) = sin(t)\)

komt al aardig in de buurt want als je die tweemaal afleidt, dan krijg je daar -sin(t) uit, ofwel

\(\frac{d^2 \phi}{dt^2}=- \phi\)

Nu die constante nog. Wat moet je aanpassen aan

\(\phi(t)=sin(t)\)

zodat, als je hem tweemaal afleidt, er die constante c voor komt te staan? Antwoord:

\(\phi(t)=sin(\sqrt{c} \cdot t)\)

. Waarom? > vul hem maar eens in in de differentiaalvergelijking. Je moet hier eigenlijk nog een constante invoeren om aan de beginvoorwaarden te kunnen voldoen, als volgt:

\(\phi(t)=sin(\sqrt{c} \cdot t - k)\)

Vul hem maar eens in, klopt nog steeds. Deze "methode" is overigens op z'n minst bedenkelijk te noemen, maar het verschaft wel wat inzicht.

De frequentie van de trilling is

\(\sqrt{c}\)

en aangezien trillingstijd=2pi/frequentie dus geldt

\(T=\frac{2 \pi}{\sqrt{c}}\)

Na invullen van c krijg je na uitwerken:

\(T=\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \frac{l}{d} \sqrt{\frac{h}{g}}\)

[F4L]

Een goede uitleg hoor! Het duurde even voordat ik hem in grote lijnen doorhad. Het enige wat ik niet in de formule snap is de k die er in voorkomt. Waarom voeg je die -k er nog aan toe?