Moeilijke som

[dirkwb]

Ik heb de oplossing gevonden! Althans ik heb de oplossing gevonden die iemand anders heeft gepubliceerd. Ik verberg het omdat het erg groot is.

Verborgen inhoud

[attachment=2889:1.PNG]

[attachment=2890:2.PNG]

[Klintersaas]

Ik kan niet alles volgen, maar het ziet er prachtig uit. De teller van de oplossing (

\(n\cdot(2^n+1)\)

) had ik al gevonden m.b.v. wat spielerei met de termen van de rij uit één van mijn vorige posts en Sloane. De noemer was echter iets te hoog gegrepen.

[Phys]

Ik was ditzelfde document ook tegengekomen Het was een vraag van Mathematical Reflections. Elegante en verrassend simpele oplossing, zodar je doorhebt dat je met de nulpunten van het genoemde polynoom moet werken (en zo heb je dus ook een methode om vergelijkbare vraagstukken op te lossen; typisch een Olympiade-vraag waarvoor je een inventief trucje nodig hebt.)

Ik kan niet alles volgen

zeg het maar!

[dirkwb]

Ik was ditzelfde document ook tegengekomen

Waarom post je het dan niet?

Het was een vraag van Mathematical Reflections. Elegante en verrassend simpele oplossing, zodar je doorhebt dat je met de nulpunten van het genoemde polynoom moet werken (en zo heb je dus ook een methode om vergelijkbare vraagstukken op te lossen; typisch een Olympiade-vraag waarvoor je een inventief trucje nodig hebt.)

zeg het maar!

Dit 'trucje' met de nulpunten van een polynoom leidt volgens mij zelden tot een mooi antwoord.

[Phys]

Waarom post je het dan niet?

Was ik zeker van plan, maar ik had er niet aan gedacht om het in zijn geheel te uploaden (en zag op tegen zoveel Latex-en, dus was meer iets voor het weekend ).

Dit 'trucje' met de nulpunten van een polynoom leidt volgens mij zelden tot een mooi antwoord.

Bij de meeste sommen zal het inderdaad niet bruikbaar zijn, maar bij redelijke vergelijkbare vragen wel (ik bedoel dus dat het een leuk trucje is om te onthouden mocht je nog eens zo'n som tegenkomen; in de praktijk zul je het nauweljks gebruiken).

[PeterPan]

Een mogelijkheid is als volgt:

Schrijf dus de sinus in e-machten (

\(z_k=\exp(\frac{k \pi}{n})\)

).

De noemers zijn dan kwadratisch in

\(z_k\)

.

Breukspitsen.

Breng de twee sommen die zo ontstaan beide onder een gemeenschappelijke noemer.

Gebruik daarbij dat

\(x^n-1 = \prod_{k=1}^n (x-{z_1}^k)\)

.

[Klintersaas]

Ik kan niet alles volgen

zeg het maar!

Ik vrees dat de wiskunde gewoonweg wat te hoog gegrepen is voor mij. Om te beginnen was ik nog niet bekend met de complexe definitie van de sinus. Althans niet officieel (ik kende ze wel, maar heb nog niet gezien hoe men ertoe komt en waarvoor ze gebruikt wordt). Dat is echter niet zo'n probleem. Het is immers een gewone formule, dus ik begrijp hoe men komt tot

\(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\xi_k}{-2\xi_k^2 + 5\xi_k - 2}\)

. Ook het breuksplitsen is geen probleem.

Vanaf "Observe that..." raak ik het echter kwijt. Het laatste stuk "In this case

\(p(x) = x^n-1\)

[/i]..." ben ik weer mee.

[PeterPan]

Als je niet bekend bent met complexe getallen lijkt het bewijs behoorlijk ingewikkeld.

Ben je er wel mee vertrouwd, dan is het bewijs niet moeilijk en voor de hand liggend.

Het is dus een uitdaging een bewijs te vinden zonder complexe getallen.

[jhnbk]

Weet jij toevallig een bewijs (of de mogelijkheid) zonder complexe getallen?

[PeterPan]

De raderen draaien...

[Phys]

Een mogelijkheid is als volgt:

Heb je dirkwb's bericht gemist? Of mis ik het verschil tussen jouw aanzet en de oplossing die dirkwb plaatste?

[PeterPan]

Ik had dirkwb's oplossing niet gezien (zat onder "verborgen inhoud"). Zijn oplossing komt overeen met de mijne.

[Klintersaas]

Als je niet bekend bent met complexe getallen lijkt het bewijs behoorlijk ingewikkeld.

Ben je er wel mee vertrouwd, dan is het bewijs niet moeilijk en voor de hand liggend.

Ik ben wel bekend met complexe getallen, maar enkel met de basis. Het verband tussen goniometrie en complexe getallen, de formule van De Moivre,... ken ik officieel nog niet.

[dirkwb]

Gebruik daarbij dat

\(x^n-1 = \prod_{k=1}^n (x-{z_1}^k)\)

.

Waar ben jij deze gelijkheid tegengekomen?

[PeterPan]

Waar ben jij deze gelijkheid tegengekomen?

Ik kijk niet op een minnetje.