[wiskunde] integraal oefening

[RaYK]

Hey,

\(\int\frac{2-3x}{\sqrt{2+5x-3x^2}}dx\)

als we hier 2+5x-3x² achter de d brengen..

\(d(2+5x-3x^2) = (5-6x)dx\)

als we nu maal 1/2 doen dan komen wie die -3x uit en kunnen we die schrappen

maar wat ik niet snap is dat ze in mijn notitie's dan nog eens -1/2 doen na de integraal..

\(2-3x = \frac{1}{2}(5-6x)-\frac{1}{2}\)

kan er iemand mij die -1/2 uitleggen?

thx,

Rayk

is dat om die 2 van 2-3x weg te krijgen mss?

1/2 * 5 = 2,5 - 1/2 = 2 .. ?

[TD]

\(2-3x = \frac{1}{2}(5-6x)-\frac{1}{2}\)

kan er iemand mij die -1/2 uitleggen?

thx,

Rayk

is dat om die 2 van 2-3x weg te krijgen mss?

1/2 * 5 = 2,5 - 1/2 = 2 .. ?

Inderdaad, anders klopt het toch niet? Met enkel (5-6x)/2 heb je 5/2-3x maar de teller was 2-3x...

[RaYK]

mh dus ffe om duidelijkheid te scheppen

sorry, ik heb het echt moeilijk me die integralen..

als ik bv.

\(\int\frac{dx}{2x-6}\)

heb dan kan ik hier die 2x-6 achter de d plaatsen en hem behandelen als een basis integraal..

\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6}d(2x-6})\)

aangezien je hier 2x hebt moet je terug maal 1/2 doen om terug x uit komen..

als je dan bv een integraal hebt als..

\(\int\frac{2x+8}{x^2+3x+6}dx\)

dan kunde die x²+3x+6 achter de d plaatsen maar dan moet je dus nog +5 doen om tot aan die 8 te komen..

\(\int\frac{d(x^2+3x+6)}{x^2+3x+6}+5\)

ik heb het nogal lastig om te verstaan waarom je in dat laatste voorbeeld niet bv. maal 1/3de moet doen omdat je daar met 3x achter de d staat.. :s

[TD]

Eigenlijk is het niet zo dat je die noemers achter de d plaatst. Onthoud de volgende regel goed:

\(\mbox{d} f(x) = f'(x) \, \mbox{d} x\)

Iets "uit" de d halen betekent dus afleiden en er "dx" achterplakken. Bijvoorbeeld:

d(x²) = 2x dx want (x²)' = 2x

d(sin(x)) = cos(x) dx want (sin(x))' = cos(x).

Het is deze regel die je 'omgekeerd' toepast, in feite doe je een vorm van substitutie.

Vertrekkend van:

\(\int\frac{\mbox{d}x}{2x-6}\)

Zou je graag willen dat de variabele 2x-6 is ("achter de d") in plaats van gewoon x. Je weet dat 2dx = d(2x) via bovenstaande regel, dus als we met 2 vermenigvuldigen en erdoor delen, hebben we:

\(\int\frac{1}{2x-6}\,\mbox{d}x = \frac{1}{2}\int\frac{2}{2x-6} \,\mbox{d}x = \frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x) \)

Dan is er nog het 'trucje' dat je achter de d steeds een constante mag bijtellen. Denk immers terug aan de regel over df(x), die constante valt toch weg bij het afleiden. Dus je mag ook schrijven:

\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x) = \frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x-6) \)

Wat er dus eigenlijk "achter de d" gebracht werd, was hier die factor 2.

[RaYK]

ok, bedankt TD, ik heb nog een lange weg te gaan maar beetje bij beetje kom ik er wel..

[RaYK]

mh nog een vraagke, als voorbeeld:

\(\int x^2+3x dx\)

normaal ga je die x² en die 3x apart intigreren.. maar kun je bijvoorbeeld ook direct van die x²+3x je variable maken? en hoe doe je dat dan?

grtz,

Rayk

[TD]

Het "achter de d brengen" komt er op neer om de primitieve te vinden, zie daarvoor de regel die ik je eerder gaf. Dat heeft hier dus niet veel zin, je bepaalt hier gewoon direct de primitieve (term per term) en klaar...

[RaYK]

ik heb hier een oefening waar ik nog nie direct aan uit geraak..

\(\int\frac{dx}{(2x+1)(x^2+1)}\)

ik zie dat als ik hier x²+1 afleid ik 2x uit kom.. wat handig kan zijn om die 2x+1 weg te werken.. maar hier staat die 2x+1 in de noemer.. moet ik daar dan geen rekening mee houden?

[TD]

Heb je "breuksplitsen" (of "splitsen in partieelbreuken") al gezien?

[RaYK]

ah, mja ik zie al wat ik mis deed.. ik heb hier per methode een paar oefeningen liggen, en ik dacht dat die oefening ééntje was uit het substitutie groepje.. ik moet me mis zien hebben want het is effectief een oefening voor breuksplitsen.., breuksplitsen lukt me

klopt het als ik zeg dat we

breuksplitsen gebruiken bij een product in de noemer van sommen of verschillen ?

partiële integratie gebruiken bij producten van meestal x en sin, cos of ln ?

en substitutie bij ongeveer de rest?

[dirkwb]

klopt het als ik zeg dat we

breuksplitsen gebruiken bij een product in de noemer van sommen of verschillen ?

partiële integratie gebruiken bij producten van meestal x en sin, cos of ln ?

en substitutie bij ongeveer de rest?

Nee, elk integraal op zich is een puzzel niet meer en niets minder.

[Stef31]

[quote='RaYK' date='8 January 2009, 20:19' post='481855']

ik heb hier een oefening waar ik nog nie direct aan uit geraak..

Ik zou het zo doen:

-----------------------

(A / (2x + 1) + B / (x^2 + 1))

[RaYK]

Ik zou het zo doen:

-----------------------

(A / (2x + 1) + B / (x^2 + 1))

is het niet

\(\frac{1}{(2x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\)

?

[TD]

klopt het als ik zeg dat we

breuksplitsen gebruiken bij een product in de noemer van sommen of verschillen ?

partiële integratie gebruiken bij producten van meestal x en sin, cos of ln ?

en substitutie bij ongeveer de rest?

Breuksplitsen gebruik je voor integratie van veeltermbreuken, als de veeltermbreuk zelf nog geen partieelbreuk is.

Partiële integratie is doorgaans nuttig wanneer er een product staat van functies van 'verschillende aard'.

is het niet

\(\frac{1}{(2x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\)

?

Inderdaad.

[RaYK]

ik zit hier met een oefening die wat soortgelijk probleem geeft als ik had met die vorige oefening ..

\(\int\frac{dx}{e^x(e^x+1)}\)

dit moet dus opgelost worden met substitutie.. ik dacht eerst volgende te doen:

\(t = (e^x+1)\)

.. afgeleide van

\(e^x\)

is

\(e^x\)

.. met de hoop die

\(e^x\)

in de noemer te doen wegvallen.. maar dit gaat waarschijnelijk niet net omdat hij in de noemer staat.

Wat moet ik hiermee?