[wiskunde] uit de vlaamse wiskundeolympiade 2009

[nicolasvermeersch]

Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een groot muntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. het klein muntstuk maakt hierbij een volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijn middelpunt is gedraaid, is gelijk aan...

A) 1 + R/r

B) R/r

[Xenion]

Zie het als een epicycloïde.

[nicolasvermeersch]

Geen idee wat dat is, maar deze vraag zorgt voor veel discussie. De kampen voor A en B zijn allebei even sterk, met leerkrachten die beide elkaar tegenspreken.

[Klintersaas]

Het correcte antwoord is A.

Een mogelijke uitleg (spelfouten uit de quote komen niet van mij):

Als je het punt waar de muntjes in het begin raken op de kleine munt beschouwt en aanduid op de grote munt op welke punten dat punt de grote cirkel raakt, dan krijg je R/r punten op de grote cirkel. Maar tussen elk van die punten maakt de kleine cirkel iets meer dan een rotatie. Al de "overschotjes" samentellen geeft nog eens een volledige rotatie.

Bron: http://www.q-e-d.be/index.php?p=forum&topic=6666

[jhnbk]

B. En ik ben daar vrij zeker van. Welke leerkrachten komen op a?

EDIT: niet dus; even kijken waar mijn redenering fout gaat. (Was dit de laatste vraag?)

[Klintersaas]

Het was inderdaad de laatste vraag en dat is traditioneel altijd een "specialleke". Ik ben meer dan vrij zeker van A (dat is ook het antwoord dat ik gegeven heb).

[jhnbk]

Hoe komt het dan to die extra rotatie? Er moet toch geleden dat de afgelegde weg van de kleine munt op de grote gelijk is aan de omtrek van die grote?

[nicolasvermeersch]

Laat je niet leiden door wat anderen beweren.

[jhnbk]

Laat je niet leiden door wat anderen beweren.

Tja; op wiskunde gebied ben ik niet de autoriteit hoor maar tot iemand een sluitend bewijs geeft blijf ik bij R/r. (Die uitleg bij de andere mogelijkheid vind ik wat mager)

[Klintersaas]

Alternatief 1:

De afstand die het middelpunt van de kleine munt aflegt bedraagt

\(2\pi(r+R)\)

(de omtrek van een cirkel met straal

\(r+R\)

. Uiteraard leggen ook alle andere punten van de munt deze afstand af.

De kleine cirkel is dus

\(\frac{2\pi(r+R)}{2\pi r} = \frac{r+R}{r} = 1 + \frac{R}{r}\)

Alternatief 2:

Verklein de grote munt tot hij straal 0 heeft (en dus eigenlijk een punt is). Wanneer de kleine munt er nu rond draait, legt hij één omwenteling af. Dit komt overeen met antwoord A (antwoord B zou 0 opleveren). Probleem hier is wel dat in de opgave gesteld werd dat een kleine munt om een grote munt draait en een munt met een straal kleiner dan 0 gaat niet. Dit is op te lossen door de grote munt niet straal 0, maar gewoon een erg kleine straal te geven.

Alternatief 3:

Probeer het gewoon eens uit met twee euro's. Je zult merken dat de ronddraaiende munt twee omwentelingen beschrijft. Dit komt overeen met antwoord A (antwoord B zou 1 omwenteling opleveren).

[Sjakko]

Er moet toch geleden dat de afgelegde weg van de kleine munt op de grote gelijk is aan de omtrek van die grote?

Ja, lijkt mij ook, maar zou die 1 extra rotatie niet simpelweg de rotatie zijn rond een andere as, namelijk de as die loodrecht op het tafeloppervlak staat en parallel aan het vlak (als je de munt even 2-dimensionaal ziet) van de rollende munt? Wel flauw maar wel waar.

[jhnbk]

Enkel alternatief 2 kan mij overtuigen

[Klintersaas]

Dat is genoeg, toch?

PS: Wat is er mis met alternatief 1?

[Jan van de Velde]

Wel flauw maar wel waar.

Niet flauw. De aarde draait in 365 dagen rond de zon, maar maakt daarbij 366 omwentelingen rond haar as. Niet helemaal vergelijkbaar met het muntjesprobleem, maar algemener: het feit dat de as van het ronddraaiende voorwerp zélf ook een cirkel beschrijft leidt ertoe dat er een extra draaiing ontstaat. Het referentiestelsel is namelijk niet de (gekromde) omtrek van de grote munt, maar een gewoon assenkruis.

[jhnbk]

Dat is genoeg, toch?

Uiteraard; het bewijst dat R/r niet kan

PS: Wat is er mis met alternatief 1?

Daar kan ik nog steeds iets niet in vatten.