Integreren voor beginners

[Klintersaas]

Oplossen is leuker, maar goed. Onderstaande integraal heeft mezelf toch wat moeite gekost:

\(I = \int \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{(x+\sin(x))^2} \mbox{d}x\)

[TD]

Verborgen inhoud

Lijkt me snel op te lossen via "integration by looking"

Ik herken namelijk (u'v-uv')/v² met u = x en v = x+sin(x).

[Axel van de Graaf]

jamaja, tis niet de bedoeling dat gevorderden komen zeggen hoe de oefening moet opgelost worden

[TD]

Hide-tags ingevoegd

[dirkwb]

jamaja, tis niet de bedoeling dat gevorderden komen zeggen hoe de oefening moet opgelost worden

Helemaal mee eens.

Volgende dan:

\( \int_0^1 \sqrt[3]{1-x^7} - \sqrt[7]{1-x^3}\ \mbox{d}x \)

[jhnbk]

Aangezien het een "beginners" topic is lijkt het mij niet de bedoeling om er de betafunctie bij te gebruiken.

[dirkwb]

Aangezien het een "beginners" topic is lijkt het mij niet de bedoeling om er de betafunctie bij te gebruiken.

Die heb je niet nodig.

[jhnbk]

Met de betafunctie komt het in ieder geval mooi uit en ik vermoed derhalve dat er iets eleganter moet zijn. Ik ga er straks even naar kijken.

[Klintersaas]

Ik kijk binnenkort wel eens naar die nieuwe.

\(I = \int \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{(x+\sin(x))^2} \mbox{d}x\)

Deze staat in ieder geval ook nog steeds open.

[jhnbk]

Indien TD niet mag meedoen wel ja

Voor de andere houd ik het voorlopig op mijn oplossing met de betafunctie. Ik zie niet in hoe het korter kan.

[dirkwb]

Ik kijk binnenkort wel eens naar die nieuwe.

Deze staat in ieder geval ook nog steeds open.

Substitutie van

\(u= \frac{x}{x+\sin(x)} \)

levert op:

\( \int 1 \mbox{d}u = u \)

[dirkwb]

Voor de andere houd ik het voorlopig op mijn oplossing met de betafunctie. Ik zie niet in hoe het korter kan.

Hint: als het goed is valt je iets op aan de integraal vind een substitutie om deze structuur uit te buiten.

[jhnbk]

Is dat geen integraal voor het andere topic? Ik zie voorlopig nog niet wat je bedoelt.

[jhnbk]

Aha, nu weet ik wat je bedoelde. Waarom keek ik daar daarstraks gewoon over. Leuke opgave !!

Oplossing

Verborgen inhoud

eerste zelf even zoeken

[jhnbk]

Aangezien het hier stilletjes is even de oplossing:

Er geldt dat

\(y=\sqrt[3]{1-x^7}\)

de inverse is van

\(y=\sqrt[7]{1-x^3}\)

. Voor x [0,1] is de oppervlakte dus gelijk en uiteindelijk de integraal 0.