Integreren voor beginners

[dirkwb]

Heb je een nieuwe jhnbk?

[jhnbk]

Ik kan zo wel eentje verzinnen maar die zal dan weer te gemakkelijk zijn voor het beginners topic.

Ik dacht er nog eentje te kunnen verzinnen voor het gevorderde topic maar het komt helaas niet uit.

[PeterPan]

Bereken voor

\(a>0\)

:

\(\int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{a^2+x^2}\ dx\)

[dirkwb]

Met x = 1/u volgt er:

\(I = \int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{a^2+x^2}\ dx =- \int_0^{\infty} \frac{\ln(u)}{a^2+u^2}\ du \longrightarrow I =0\)

[PeterPan]

Weet je dat zeker?

[jhnbk]

Hoezo? Dat lijkt mij niet.

[PeterPan]

\(\int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{e^2+x^2}\ dx = \frac12\frac{\pi}{e}\)

[dirkwb]

Sorry, ik heb een foutje gemaakt.

Er geldt:

\(\int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{1+x^2}\ dx = 0\)

[jhnbk]

Neen. De oplossing is

\(\frac{\pi \ln a }{2a}\)

.

@Peterpan: Is dit niet voor het gevorderden topic of heb jij een oplossing die eenvoudiger is dan de mijne?

(Edit: wat je schrijft geldt uiteraard wel maar er is dus een algemene oplossing te vinden)

[Phys]

Er geldt:

\(\int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{1+x^2}\ dx = 0\)

.

Klopt natuurlijk wel, want ln(1)=0, maar de vraag was voor algemene a>0, niet a=1.

\\edit: dirkwb, je bent lekker bezig Voor

\(a\neq 1\)

klopt het natuurlijk ook.

[jhnbk]

Voor

\(a\neq 1\)

klopt het natuurlijk ook.

Mijn oplossing is geldig voor a>0. Hoe komen jullie erbij dat die integraal 0 is voor a>0?

[PeterPan]

@Peterpan: Is dit niet voor het gevorderden topic of heb jij een oplossing die eenvoudiger is dan de mijne?

Het is waarschijnlijk véél eenvoudiger dan je denkt.

[Phys]

Mijn oplossing is geldig voor a>0. Hoe komen jullie erbij dat die integraal 0 is voor a>0?

Hoe kom jij erbij dat iemand dat beweert? Voor a=0 is het antwoord 0, in overeenstemming met jouw antwoord, aangezien ln(1)=0.

Verborgen inhoud

Dirk beweerde dat

\(\frac{\pi \ln a }{2a}\)

alleen zou kloppen als $a\neq 1$. Daarop reageerde ik dat dat (= jouw) antwoord natuurlijk ook voor a=1 klopt, want het was juist in overeenstemming met Dirk's antwoord. Maar hij paste zijn bericht alweer aan, en inmiddels is het al verwijderd.

[jhnbk]

Ah, op die manier. Ik had het even weer niet begrepen. Ik ben wel benieuwd naar de methode van PeterPan aangezien ik enkele dingen heb nodig gehad die verre van in dit topic thuis horen.

[Axel van de Graaf]

ik heb er een hele tijd naar gezocht, maar heb het niet gevonden...