Puzzel Kansberedeneren met Deuren.

[Rogier]

Er is ook nog de situatie dat er achter een deur een geit staat en achter de andere de ferrari.

Zo is de opzet...

Wacht even, wat zijn nou de mogelijkheden? Als ik je verhaal + deze opmerking goed begrijp, zijn er niet drie maar vier mogelijke situaties:

1: een ferarri achter één deur, geen geit

2: een geit achter één deur, geen ferrari

3: een ferrari én een geit samen achter één deur

4: een ferarri achter één deur, en een geit achter een andere deur

Klopt dit?

En kunnen we er van uit gaan dat allevier de situaties 25% kans hebben? Of kiezen ze eerst met 50/50 of de geit er wel/niet in komt, en als hij er in zit kiezen ze vervolgens een willekeurige deur waar ze hem achter zetten? En idem met de ferrari? (want dan heeft de 4e situatie een grotere kans dan de 3e)

[Rogier]

Je moet er natuurlijk wel vanuit gaan dat de quizmaster altijd een deur kiest waar de prijs niet achter staat.

Uiteraard, hij gaat niet de ferrari laten zien en vervolgens vragen of je nog wilt wisselen

[Schwartz]

Er is altijd een geit en een ferrari achter de deuren geplaatst.

het kan wel zo zijn dat de geit en de ferrari achter 1 deur staan.

[Rogier]

Er is altijd een geit en een ferrari achter de deuren geplaatst.

het kan wel zo zijn dat de geit en de ferrari achter 1 deur staan.

Aha ok, dat verandert de zaak. Wat gebeurt er als één van de deelnemers nog van deur wisselt, waardoor ze dus uiteindelijk allebei voor dezelfde deur gaan, en daarachter blijkt de ferrari te zitten? Krijgen ze dan allebei een ferrari, of allebei een halve?

En wat als er een ferrari én een geit achter zit? Moeten ze dan onderling uitmaken wie de geit en wie de ferrari krijgt?

[Schwartz]

De omroep met zijn medewerkers hebben geld genoeg dus dat lijkt me geen probleem.

[Rogier]

Ok, dan is er nog een ambiguïteit in de spelregels: als de logicus kennelijk altijd de deur kiest waarachter hij een geit hoort blaten (er vanuit gaande dat zijn gehoor hem niet in de steek laat en hij inderdaad de goeie deur kiest), dan kan het zo zijn dat de ferrari achter een andere deur zit en de wiskundige nog een andere (de overgebleven lege) deur kiest. Maakt de quizmaster in dat geval een deur open? Dat lijkt me niet, aangezien de enige deur die nog niet is gekozen in dat geval de ferrari bevat.

Dus als er even vanuit gaan dat de quizmaster inderdaad alleen een ongekozen deur opent als er nog een lege ongekozen deur over is, zijn er drie mogelijkheden, met alledrie 1/3 kans: (*)

- De wiskundige heeft de deur met de ferrari gekozen, de logicus een andere deur met de geit, en de quizmaster opent een derde (lege) deur

- De wiskundige heeft een lege deur gekozen, de logicus heeft een andere deur met de geit én de ferrari, en de quizmaster opent een derde (lege) deur

- De wiskundige heeft een lege deur gekozen, de logicus heeft een andere deur met de geit, en de quizmaster opent geen deur (want de enige overgebleven deur bevat de ferrari)

Gezien het feit dat in jouw situatie de quizmaster wel een deur opent, valt die laatste mogelijkheid af. Blijven de eerste twee over, en in dat geval hebben de wiskundige en de logicus allebei 50% kans om de ferrari te winnen - zowel als ze bij hun eerste keuze blijven, als wisselen. Het maakt dus niet uit wat ze doen.

Het gejuich van de wiskundige is dus voorbarig

(*) Toelichting over die 1/3 kans: er zijn 9 mogelijkheden om een ferrari en een geit willekeurig over 3 deuren te verdelen. In 3 v/d 9 staan ze beide achter dezelfde deur, in 6 v/d 9 gevallen achter verschillende deuren. De logicus kiest altijd die met de geit, en heeft dus 3/9 kans dat ie ook de ferrari heeft. De wiskundige altijd een andere. De kans is 6/9 dat de ferrari achter één v/d twee andere deur staat dan de geit, en als dat zo is is de kans nog eens 1/2 zo groot (dus in totaal 3/9) dat de wiskundige de goeie kiest, en eveneens 1/2 (dus ook 3/9 in totaal) dat de ferrari als enige ongekozen blijft.

[Schwartz]

Wie bepaalt er eigenlijk waar de ferrari en de geit staan voordat de quiz begint?

Ik heb in de situatie dat helemaal niet verteld.

het personeel van de studio heeft dat verzorgt......

[Rogier]

Ok, hoe zit het dan met:

- De kans dat de geit en de ferrari achter dezelfde deur komen, is dat inderdaad 1/3? Of zijn de plaatsen waar het personeel deze prijzen neer zet afhankelijk van elkaar?

- De quizmaster die een deur opent, behoort hij tot het personeel van de studio of weet hij ook niet wat waar staat? M.a.w. kan het zijn dat hij per ongeluk de deur met de ferrari laat zien?

[Schwartz]

Het gaat erom hoe de logicus denkt......

Die gaat niet eerst vragen hoe alles tot stand gekomen is.

Het is tenslotte een quiz.

[PeterPan]

In het oorspronkelijke probleem staat overbodige informatie die de lezer waarschijnlijk in verwarring heeft gebracht.

Er wordt namelijk gezegd dat zich achter één van de deuren een auto bevindt. Maar dat is altijd zo, want ...

Stel jij kiest voor deur A (de deuren zijn A,B en C).

Als achter één van de deuren zich een auto bevindt, dan is de kans dat je een fiets wint 2/3.

Omgekeerd, als de kans 2/3 is dat je een fiets wint, dan zit achter één van de deuren een auto.

De quizzmaster opent deur B, er zit een oude fiets achter.

Dan zit er achter de drie deuren, met gelijke waarschijnlijkheid FFF of AFF of FFA of AFA (A=auto, F=fiets). De kans dat je een fiets wint is derhalve achtereenvolgens 1, 2/3, 2/3 en 1/3. Gemiddeld is dat 2/3.

Maar als de kans 2/3 is dat je een fiets wint, dan bevindt zich achter een van de deuren een auto.

[Schwartz]

De logicus kiest voor de deur waarachter de geit bleert.

Hij heeft hiervoor een logische reden.

Het studio personeel heeft eerst de ferrari geplaatst in kamer 2.

Die Ferrari die loopt niet weg en bleef braaf staan in de kamer.

(handrem erop gezet!)

Daarna hebben ze de geit, die moest van de quizmaster in kamer 3 zodat hij kamer 1 kon openen, in de kamer gezet maar je weet hoe dat gaat.

Op een geit zit geen handrem en liep steeds de deur uit.

Het studiopersoneel was het zat en legde de geit vast aan de bumper van de Ferrari....

Probleem opgelost.

De logicus had zich tijdens de voorronde dit probleem voor zijn geest gehaald en koos dus de deur waarachter de geit staat.

Als ze de geit vast hadden gezet met een zwaar voorwerp dan had hij het mis....

[Trevan]

Akkoord, al is er weinig mis mee om op verschillende manieren mensen als Zpidermen te overtuigen, toch? (of andersom)

Maar inderdaad, alle denkbare argumenten (en meer) zijn inmiddels wel aan bod geweest, dus wat mij betreft zijn we wel uitgediscussieerd.

Mocht Zpidermen of iemand anders toch nog denken dat het anders zit, dan neem ik graag de proef op de som met echte geldprijzen.

Bijna 4 jaar na dato, maar goed, ik snap het nog steeds niet. Het voorbeeld met de 52 kaarten is heel overtuigend. Maar waar maak ik dan de denkfout als ik alle mogelijkheden uitteken?

Even terug dus naar 2 oude fietsen en een auto. De fietsen geef ik voor het gemak een kleur. We hebben een rode fiets en een blauwe fiets. Ik kies deur 1. De quizmaster opent een deur met daarachter een fiets. Volgens mij hebben we dan de volgende situaties (* betekent dat de deur geopend is, RF=rode fiets, en de rest moet wel duidelijk zijn):

1. A RF* BF
2. A RF BF*
3. A BF* RF
4. A BF RF*
5. RF A BF*
6. RF BF* A
7. BF A RF*
8. BF RF* A

En volgens mij hebben al die situaties vanuit de kandidaat gezien evenveel kans. In situatie 1 t/m 4 is het gunstig van keuze te wisselen. In situatie 5 t/m 8 niet. Dus in 50% van de gevallen is het gunstig om te wisselen?? Waar ga ik de fout in?

[PeterPan]

En volgens mij hebben al die situaties vanuit de kandidaat gezien evenveel kans.

Dat is niet zo.

De volgende situaties komen even vaak voor:

1. A RF BF
2. A BF RF
3. RF A BF
4. RF BF A
5. BF A RF
6. BF RF A

Dat de quizmaster in de eerste twee gevallen mag kiezen welke deur hij open doet (hij kiest bv door munt op gooien), doet niet ter zake.

Stel namelijk dat de quizmaster besluit dat hij de keuze welke deur hij zal open doen als er meerder mogelijkheden zijn laat afhangen van de uitkomst van een dobbelsteen (meer dan 3 = kies laatste deur). Dan zouden er volgens jou de volgende mogelijkheden zijn:

1. A RF BF gooit 1, dus RF*
2. A RF BF gooit 2, dus RF*
3. A RF BF gooit 3, dus RF*
4. A RF BF gooit 4, dus BF*
5. A RF BF gooit 5, dus BF*
6. A RF BF gooit 6, dus BF*
7. A BF RF gooit 1, dus RF*
8. A BF RF gooit 2, dus RF*
9. A BF RF gooit 3, dus RF*
10. A BF RF gooit 4, dus BF*
11. A BF RF gooit 5, dus BF*
12. A BF RF gooit 6, dus BF*
13. RF A BF*
14. RF BF* A
15. BF A RF*
16. BF RF* A

Je bent het er toch mee eens dat je uitspraak

En volgens mij hebben al die situaties vanuit de kandidaat gezien evenveel kans.

hier niet kan kloppen.

Hoe de quizmaster aan zijn besluit komt om de eerste of tweede deur open te gooien (door munt op gooien of met een dobbelsteen of anders) doet er voor de quizdeelnemer niet toe.

Jouw muntvariant:

1. A RF BF gooit kop, dus RF*
2. A RF BF gooit munt, dus BF*
3. A BF RF gooit kop, dus BF*
4. A BF RF gooit munt, dus RF*
5. RF A BF*
6. RF BF* A
7. BF A RF*
8. BF RF* A

[Trevan]

Dat is niet zo.

De volgende situaties komen even vaak voor:

1. A RF BF
2. A BF RF
3. RF A BF
4. RF BF A
5. BF A RF
6. BF RF A

Ik vermoed ook dat het hem hier in moet zitten, maar echt begrijpen doe ik het nog steeds niet

Op het moment dat je je tweede keuze moet maken zijn de mogelijke situaties die 8 situaties die ik opschreef. Toch? Ongeacht hoe die situaties tot stand zijn gekomen. Mijn situaties 1 t/m 4 zijn ook duidelijk anders. Ze zien er anders uit; je ziet een rode fiets of een blauwe fiets, en die staat in deur 2 of deur 3.

De situaties die jij hierboven noemt zijn de situaties als de deur nog dicht is. Waarom moet ik van die situatiemogelijkheden uitgaan en niet van de mogelijkheden als de deur geopend is?

[da_doc]

De twee keuzes zijn gekoppeld: de quizmaster opent altijd een andere deur dan in eerste instantie gekozen is. De tweede keuze is dus conditioneel.

Het is eenvoudig in te zien: herhaal het spelletje 300 keer. Hoe vaak is de eerste keuze correct? 100 keer. Dus in de 200 andere gevallen staat de auto achter een van de andere twee deurtjes. De quizmaster opent vervolgens altijd het andere deurtje waar de auto niet achter staat.

Dus: kans 1/3 dat de eerste keuze goed is, en 2/3 dat wisselen naar het andere nog gesloten deurtje goed is.

Dat kun je met een eenvoudig computerprogrammaatje testen.