[natuurkunde] traagheidsmoment en wrijving bij rotaties

[Equation]

Ik zit in 6vwo (N&T) en heb een EXO (practicum) op school. Vanzelfsprekend heb je een lijstje met onderwerpen waar je uit kan kiezen. Ik ben echter zo iemand die zelf een onderwerp wil zoeken van een hoger niveau. Dus zijn ik en mijn partner bij "traagheidsmoment" uitgekomen, wat volgens zeggen van mijn docent, stof is dat je in je 1^e leerjaar van de universiteit krijgt.

Ons doel is om de invloed van de massa van een puntmassa en de afstand (straal) waarop die puntmassa zich van de draaiings-as bevind op het traagheidsmoment.

Uiteraard brengt dit problemen met zich mee: wrijvingskracht.

We hebben 2 formules gevonden en die in elkaar gesubstitueerd om de wrijvingskracht te kunnen omzeilen. Bij wiskunde is het heel simpel: het mag gewoon. Bij natuurkunde echter kan er een valkuil zijn... Zijn het dezelfde wrijvingskrachten die je substitueert? En dat is dan ook de vraag.

Dit is een soortgelijke opstelling als de onze. Een gewichtje aan een touwtje die de as doet ronddraaien. [image: ©kuleuven]



We hadden de volgende formules:

E_h = E_k + E_rotatie + W_Fw

Dit is simpelweg de wet van behoud van energie. De hoogte-energie, of zwaarte-energie, van ons gewichtje wordt omgezet in zijn eigen kinetische energie (hij valt), maar ook in wrijvingskracht (luchtwrijving van het vallen, luchtwrijving van de as (en alles erop en eraan) en mechanische wrijving in het systeem.) en verder nog in rotatie energie.

E_rotatie = ½*I*w²

I = traagheidsmoment

w "omega" = hoeksnelheid van de rotatie

T_Fw = I * dw / dt

T_Fw = krachtmoment van de wrijvingskracht

dw/dt = hoekversnelling

Door middel van substitutie krijgen we dan:

m*g*h = ½*m*v² + I(½w² + (dw/dt))

Nu hebben we het krachtmoment van de wrijving (T_Fw) in de arbeid van de wrijving gesubstitueerd (W_Fw). Nu gaan we echter uit van het feit dat in de T_Fw formule de totale wrijvingskracht zit inbegrepen, zoals in de andere formule (wet van behoud van energie). Dus de vraag, is deze substitutie mogelijk?

Uiteraard hebben we het aan de docent gevraagd. In 1^e instantie dacht hij van niet, maar nadat hij erover nadacht begon hij te twijfelen. Dus wat is jullie mening hierover?

Overigens bestaat onze opstelling uit 3 componenten die elk hun eigen traagheidsmoment hebben, maar traagheidsmoment mag je optellen. Om deze reden bekijken we als eerste het totaal, om de wrijvingskracht proberen te omzeilen, mits deze substitutie toegestaan is.

Alvast bedankt.

[Alink]

T_Fw = I * dw / dt

T_Fw = krachtmoment van de wrijvingskracht

dw/dt = hoekversnelling

Zoals het er staat, mag je ze in elkaar omschrijven. Het is alleen zo dat het wrijvingskoppel niet gelijk is aan I * dw / dt. Wrijving is voor engineers namelijk een erg irritant iets en is verre van lineair. Je kunt wrijving modelleren in 3 gedeeltes.

1) Coulombse wrijving (wrijving onafhankelijk van de (hoek)snelheid (behalve dan dat de richting omklapt als de snelheid van richting verandert))

2) Viskeuze wrijving (wrijving lineair afhankelijk van de (hoek)snelheid)

3) Het Stribeck effect (hier zul je je zelf iets meer in moeten verdiepen. Het komt erop neer dat de wrijving toeneemt bij lage snelheden.)

De coefficienten kun je het beste experimenteel bepalen, maar ik weet niet hoe lang dit project duurt. 2 methodes om de wrijving te modelleren voor computersimulaties:

- Het LuGre-model (kun je meer over vinden op het web)

- De 3 delen afzonderlijk bij elkaar opgeteld:

1) mu_c * (arctan(c2 * hoeksnelheid) / (pi/2))

2) mu_d * hoeksnelheid

3) mu_st * hoeksnelheid * c3 * exp(- |hoeksnelheid| * c4) / (c3/c4*exp(-1))

Ik hoop dat ik je een beetje op weg heb geholpen. Hoe je de waardes bepaald voor de mu's en c's is weer een heel nieuw iets. Ergens denk ik ook dat dit iets te uitgebreid is voor je onderzoek. Een basis kan zijn om alleen de coulombse wrijving te modelleren.

[Equation]

Het onderzoek duurt ongeveer 3 maanden.

De formule hebben we hier vandaan gehaald, uit een voorbeeld uit een universitair boek.

Citaat uit voorbeeld:

"De wrijvingskracht zorgt voor een krachtmoment van T_fr = 1,10 N*m"

In dit voorbeeld weten ze de hoekversnelling (dw/dt) en de T_fr en halen daaruit het traagheidsmoment.

Wij wilden het traagheidsmoment bepalen via de wet van behoud van Energie, alleen de wrijvingskracht zit ons daarbij in de weg. We probeerden dus deze formules te combineren om de wrijvingskracht proberen te omzeilen.

Alleen dit is dus niet mogelijk, omdat er heel veel verschillende soorten wrijvingskrachten zijn, die elk moeten voldoen aan hun eigen eisen? Of zullen die verschillende wrijvingskrachten te combineren zijn, aangezien het een tijdsopname is (het moment dat het gewichtje de grond raakt (Eh = 0))? In beide formules wordt de wrijvingskracht op hetzelfde moment benaderd, dus ik ga ervan uit dat het er eigenlijk niet toe doet dat er meerdere types van wrijvingskrachten bestaan? Ik bedoel, als die F_fr gelijk is aan W_Fw, dan doet het er niet toe, omdat we het dan kunnen weg substitueren. Indien dat niet zo is, dan pas hoeven we de verschillende types van wrijvingskrachten te benaderen?

[Equation]

Sorry voor de dubbele post, maar de "bewerk"/"edit" knop is op mysterieuze wijze verdwenen :eusa_whistle: ?

Na wat meer theoretisch onderzoek kwam ik uiteindelijk uit bij wat die T in het engels is: "Torque", wat "koppel" in het Nederlands betekent.

Met andere woorden, op dit moment vermoed ik dat de substitutie niet mogelijk is, omdat die W_Fw absoluut is, terwijl die T dat niet is. Die T is volgens mij netto, aangezien er meerdere krachten samengevoegd zijn tot 1 soort kracht.

Maar trouwens... Wat zit ik moeilijk te doen?

Uit een enkele vergelijking kun je 2 onbekenden oplossen door middel van substitutie...

Dus als ik heb

m*g*h = ½*m*v² + ½*I*w² + W_Fw

dan kunnen we W_Fw uitdrukken in I en vervolgens de gevonden formule in W_Fw substitueren om I uit te rekenen. Dat moet werken, niet?

[Equation]

Sorry voor triple-post, maar de "wijzig" knop was weer verdwenen. Verdwijnt deze na een bepaald aantal minuten ofzo? En waarom gebeurt het? Persoonlijk vind ik het onpraktisch, aangezien ik dan genoodzaakt wordt dubbel te posten.

Enfin,

Na verder onderzoek gedaan te hebben, is een nieuw plan tot stand gekomen:

E_z = E_k + E_rot + W_Fw

begin van exp. = eind van exp. (blokje raakt grond).

Wanneer we hem nou laten uitdraaien krijgen we, uitgaande van het feit dat het touw lang genoeg is, zodat het blokje niet opgetild wordt door de E_rot:

E_rot = W_Fw

eind van exp. (blokje raakt grond) = eind van 2e exp. (uitgedraaid)

Dus de vraag, is deze 2e W_Fw gelijk aan de 1e W_Fw? Tijd is een raar iets... Maar dat is volgens mij nu niet van invloed, aangezien de wrijving alleen afhankelijk is van de rotatiesnelheid? Voor elke afname van de rotatiesnelheid heeft de wrijvingskracht evenveel energie nodig? Ik bedoel, voor elk radiaal/sec dat de F_w hem moet laten afremmen, heeft hij evenveel energie nodig. Deze wrijving lijkt mij dezelfde wrijving als in de 1e formule. Ik besef dat mijn onderbouwing nog niet erg sterk is... Maar ik ga er zeg maar vanuit dat de W_Fw geheel afhankelijk is van de rotatiesnelheid. Dus wanneer de rotatiesnelheid op zijn maximale is (blokje raakt grond --> daar staat mijn 1e W_Fw), is ook de Fw maximaal. Dus wanneer we naar de 2e formule kijken, is het meer dan logisch dat dat diezelfde W_Fw is, aangezien we daar ook de Fw uitrekenen die bij de maximale rotatiesnelheid hoort. In formule 1 van 0 tot max en in formule 2 van max tot 0? Die onderbouwing lijkt me beter.

Dus de vraag: Is deze veronderstelling juist?

[Alink]

Het wordt al duidelijker. Je bent eigenlijk enkel op zoek naar de arbeid die verricht wordt door het wrijvingskoppel. Hoe dat er precies uitziet, is voor jou niet echt belangrijk.

Wat je zou kunnen doen is het volgende. Gezien de wrijving afhankelijk is van de hoeksnelheid, zal bij het bewegen van de blokjes naar buiten (zodat de traagheid groter wordt) de gemiddelde snelheid afnemen, waardoor meer arbeid verricht wordt door de wrijving. Mocht de opstelling erg goed gelagerd zijn, dan zal het verschil bij de verschillende experimenten niet al te veel uiteen lopen. Om te kijken of de wrijving inderdaad bijna te verwaarlozen is, moet je maar eens kleine gewichtjes aan het uiteinde van het touw binden. Vanaf een gegeven gewicht zal je opstelling pas beginnen met draaien. De massa die je dan aan je uiteinde hebt zitten vermenigvuldigd met de gravitatieversnelling (g) is de kracht die nodig is om de wrijving te overbruggen. Dit kun je dan weer terugrekenen tot een wrijvingskoppel op je draaias. Dit koppel is je statische wrijvingskoppel.

Zodra echter je opstelling gaat draaien, zal de wrijving afnemen. Je dynamische wrijving is namelijk lager dan de statische. Je kunt deze misschien bepalen door een iets kleiner gewicht aan je uiteinde te hangen dan het gewicht dat nodig was om je statische wrijving te overwinnen. Vervolgens geef je handmatig je opstelling een snelheid, laat het los en kijkt of het met een constante snelheid voort blijft bewegen. In dat geval is namelijk de zwaartekracht op je gewichtje(s) gelijk aan de dynamische wrijvingskracht. Mocht hij vertragen, dan is je wrijving groter, mocht hij versnellen, dan is je wrijving lager.

Deze dynamische wrijvingskracht is hetgeen waar je naar op zoek bent voor je vergelijking. Immers, alleen als je opstelling aan het bewegen is (dynamisch is) zal de wrijving arbeid verrichten!

Bij snelheden die flink veranderen in de tijd, zal de wrijving ook lichtelijk veranderen. Waarschijnlijk zal dit wel meevallen en heb je aan 1 waarde voldoende.

Sorry van mijn uitspattingen over Stribeck-effecten en LuGre-modellen. Is waarschijnlijk wat te ver gegrepen. Mocht je verder nog vragen hebben, dan hoor ik het wel.

[Equation]

Sorry van mijn uitspattingen over Stribeck-effecten en LuGre-modellen. Is waarschijnlijk wat te ver gegrepen. Mocht je verder nog vragen hebben, dan hoor ik het wel.

Dat is nog van een iets te hoog niveau, ja, maar het interesseerde me wel ;P

Het wordt al duidelijker. Je bent eigenlijk enkel op zoek naar de arbeid die verricht wordt door het wrijvingskoppel. Hoe dat er precies uitziet, is voor jou niet echt belangrijk.

In feite is de Fw zelf niet ons onderzoek, maar we moeten het op een 1 of andere manier weten te analyseren voordat we kunnen beginnen aan datgeen wat we nou eigenlijk willen bepalen.

Wat je zou kunnen doen is het volgende. Gezien de wrijving afhankelijk is van de hoeksnelheid, zal bij het bewegen van de blokjes naar buiten (zodat de traagheid groter wordt) de gemiddelde snelheid afnemen, waardoor meer arbeid verricht wordt door de wrijving. Mocht de opstelling erg goed gelagerd zijn, dan zal het verschil bij de verschillende experimenten niet al te veel uiteen lopen. Om te kijken of de wrijving inderdaad bijna te verwaarlozen is, moet je maar eens kleine gewichtjes aan het uiteinde van het touw binden. Vanaf een gegeven gewicht zal je opstelling pas beginnen met draaien. De massa die je dan aan je uiteinde hebt zitten vermenigvuldigd met de gravitatieversnelling (g) is de kracht die nodig is om de wrijving te overbruggen. Dit kun je dan weer terugrekenen tot een wrijvingskoppel op je draaias. Dit koppel is je statische wrijvingskoppel.

Zodra echter je opstelling gaat draaien, zal de wrijving afnemen. Je dynamische wrijving is namelijk lager dan de statische. Je kunt deze misschien bepalen door een iets kleiner gewicht aan je uiteinde te hangen dan het gewicht dat nodig was om je statische wrijving te overwinnen. Vervolgens geef je handmatig je opstelling een snelheid, laat het los en kijkt of het met een constante snelheid voort blijft bewegen. In dat geval is namelijk de zwaartekracht op je gewichtje(s) gelijk aan de dynamische wrijvingskracht. Mocht hij vertragen, dan is je wrijving groter, mocht hij versnellen, dan is je wrijving lager.

Deze dynamische wrijvingskracht is hetgeen waar je naar op zoek bent voor je vergelijking. Immers, alleen als je opstelling aan het bewegen is (dynamisch is) zal de wrijving arbeid verrichten!

Die "statische wrijving" is in feite het traagheidsmoment? Een voorwerp is "lui". Het wil niet in beweging komen totdat het niet anders kan ("statische wrijving"). Wanneer het eenmaal beweegt, wil het blijven bewegen ("dynamische wrijving" remt het af"). In de statische situatie is het traagheidsmoment eigenlijk de "wrijving", terwijl de wrijving het traagheidsmoment tegenwerkt in de dynamische situatie?

De statische wrijving bepalen zal geen probleem zijn.

De dynamische wrijving zal echter wel problemen geven, practisch gezien. Je moet dus een gewichtje vinden die precies genoeg weegt om de puntmassa's met een constante hoeksnelheid voort te laten bewegen. Deze hoeksnelheid is de snelheid op het moment dat ons "gewone" gewichtje de grond raakt (zodat onze Wet van Behoud van Energie formule van toepassing is), maar dat betekent dat we, tijdens het draaien, een gewichtje moeten wisselen zonder dat hij snelheid verliest. Ook zal de lengte van het touw misschien een probleem worden op een begeven moment.

Dus het plan lijkt mij nu:

- Statische wrijving bepalen

- Kijken of het verwaarloosbaar is (aangezien dynamisch<statisch)

Indien het verwaarloosbaar is, zijn we er.

Indien het niet verwaarloosbaar is, wordt het practisch een probleem denk ik...

Ik vermoed echter dat het wél verwaarloosbaar zal zijn, aangezien het traagheidsmoment van onze blokjes dusdanig hoog is dat hij minutenlang zal blijven draaien zonder dat je merkt dat de snelheid afneemt. Hieruit kun je concluderen dat de W_Fw alleen de versnelling kan tegenhouden (traagheidsmoment probeert in feite de hoeksnelheid te verhogen), maar het niet kan afremmen (uitgaande van het feit dat hij constant blijft draaien).

Voor nu, bedankt.

[Alink]

Ik heb het idee dat je nog niet precies weet wat wrijving precies is. Vandaar dat ik het begrip even kort uitleg.

Stel je hebt een zware doos die op de grond staat. Als je hier met 1 vinger tegenaan duwt (kleine kracht), dan zal de doos niet gaan bewegen. Dit komt doordat de maximale statische wrijving groter is dan de kracht waarmee je drukt. Als je steeds harder gaat drukken, zal de wrijvingskracht even hard tegen gaan werken (som van drukkracht en wrijvingskracht = 0) totdat de kracht waarmee je drukt groter is dan de maximale statische wrijvingskracht. Doordat er nu geen krachtsevenwicht meer is, zal de doos versnellen. In de praktijk zul je merken dat als je de doos eenmaal in beweging hebt, het veel eenvoudiger is om hem in beweging te houden. De wrijvingskracht die je tegenwerkt neemt namelijk af doordat de dynamische wrijvingscoefficient lager is dan de statische.

In formules:

De maximale statische wrijvingskracht

\( F_{fr,st,max} = normaalkracht \cdot \mu_{st} = m_{doos} \cdot g \cdot \mu_{st} \)

Er heerst een krachtevenwicht als de drukkracht kleiner is dan de maximale wrijvingskracht

\( F_{fr} = -F_{druk} \)

als

\( F_{druk} < F_{fr,st,max} \)

en

\( v = 0 \)

\( \Sigma F = F_{fr} + F_{druk} = 0 \)

dus geen versnelling

waarin

\( F_{druk} \)

= uitgeoefende kracht op doos

Zodra of als de drukkracht groter is dan de wrijvingskracht, zal de doos gaan bewegen

\( \Sigma F = F_{fr} + F_{druk} = m_{doos} \cdot a > 0 \)

De wrijvingscoefficient zal doordat de doos beweegt afnemen van de statische naar de dynamische

\( \mu_{st} --> \mu_{d}, \mu_{d} < \mu_{st} \)

Hierdoor zal de wrijvingskracht afnemen. Je hoeft dus minder hard tegen de doos te duwen om de doos een constante snelheid te laten houden. Een constante snelheid betekent dat de som van de krachten op de doos gelijk is aan 0.

In jou geval zal er wrijving zitten in de katrollen die gebruikt om je touw te geleiden en in het lager waar omheen je massa's draaien. Dit heeft helemaal niets met je traagheid te maken.

Mocht je opstelling namelijk 0 wrijving hebben, dan zou de massa van je touwtje de opstelling al in beweging brengen. Hoe lager die zwaartekracht of hoe hoger de traagheid, hoe langzamer het geheel versneld. Immers, in dat geval:

\( \Sigma F = F_{touwtje} = m_{touwtje} \cdot g = \frac{J_{opstelling} \cdot \alpha}{r_{aangrijppunt,touwtje}^2} \)

geeft:

\( \alpha > 0 \)

Ik hoop dat het langzamerhand een beetje duidelijk wordt, wat wrijving nou precies is.

In het bovenstaande ga ik uit van een massa en krachten, maar dit is geheel overeenstemmend met traagheid en momenten.

\( F = m \cdot a \)

\( M = J \cdot \alpha \)

\( M = F \cdot r \)

\( \alpha = \frac{a}{r} \)

waarin r de arm is. Traagheid is niet 1 op 1 om te schrijven, tenzij je van puntmassa's kunt spreken. In dat geval

\( J = m \cdot r^2 \)

Jouw opstelling is redelijk te omschrijven als een systeem met twee puntmassa's.