Integreren voor beginners

[dirkwb]

@dirk:

Je uitwerking is correct op de factor voor arctan na.

Dat klopt.

De 1-na-laatste integraal is van hetzelfde type als bv.:

\(\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{1}{k+1} = \int_0^1 (1+x)^n \mathrm{d}x = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}\)

(en dit kun je veel verder generaliseren)

Het kan makkelijker...

[Drieske]

Een paar nieuwe en meer op niveau van beginnners:

1)

\( \int_0^1 (1+\sqrt{x})^8\ \mbox{d}x \)

Substitutie van x=t²... de integraal wordt dan:

\( \int_0^1 (1+t)^8 2t \ \mbox{d}t \)

Dan substitutie van 1+t=u en de integraal is opgelost (voor de uitwerking heb ik nu effe geen tijd )

[halb]

Ik bedoelde dat je naar een integraal convert om som op te lossen (heeft inderdaad niet veel met opgave zelf te maken). In dit geval zou de som zijn:

\( \sum_{k=0}^8 {8 \choose k} \frac{2}{k+2}\)

[Klintersaas]

Je neemt toch juist de primitieve van 3^t? Althans, als je stelt u = t en dv = 3^t, wat jij lijkt te doen.

Natuurlijk! Mijn excuses, domme fout.

1)

\( \int_0^1 (1+\sqrt{x})^8\ \mbox{d}x \)

Substitutie

\(1+\sqrt{x} = t\)

:

\(I = 2\int_0^2 (t-1)t^8\mbox{d}t = 2 \left[\frac{t^{10}}{10} - \frac{t^9}{9}\right]_0^2 = \frac{4096}{45}\)

[Lapzwans]

Je ondergrens moet 1 zijn, dan klopt hij.

[Arie Bombarie]

C(x)=int[8sin[2x]*e^(3x)]dx

Met partiële integratie kom ik er niet uit, sin(2x) valt niet weg na differentiatie, hetzelfde geldt voor e^(3x).

[jhnbk]

Je zal het twee keer moeten doen om dan op te lossen naar de gegeven integraal.

[Arie Bombarie]

f(x) = sin(2x)

f'(x) = 2cos(2x)

f''(x) = -4sin(2x)

f'''(x) = -8cos(2x)

Of:

f(x) = e^(3x)

f'(x) = 3e^(3x)

f''(x) = 9e^(3x)

f'''(x) = 27^(3x)

Loopt toch beide op "niets" uit?

[Klintersaas]

Niet meerdere keren afleiden, maar het hele proces van partiële integratie tweemaal na elkaar toepassen!

[Arie Bombarie]

Dat komt er toch op neer dat je danwel f(x) of g(x) weer moet afleiden?

C(x)=int[8sin[2x]*e^(3x)]dx

C(x)=(8/3)sin[2x]e^(3x)-(16/3)int[cos[2x]e^(3x)]

Nog een keer partiële integratie:

C(x)=(8/3)sin[2x]e^(3x)-(16/9)cos[2x]e^(3x)+(2/3)int[sin[2x]e^(3x)]

Dit leidt toch tot niets?

[jhnbk]

Je krijt toch iets van de vorm OrigineelIntegraal = deel van de oplossing + factor x OrigineelIntegraal

Dat kan je oplossen naar OrigineelIntegraal

Je zal moeten vinden

\(\frac{8 e^{3x}(3\sin2x-2\cos 2x)}{13}+C\)

[mathfreak]

Hint: stel F(x) = (asin 2x+bcos 2x)e^3x is de gezochte primitieve, dan moet gelden: F'(x) = 8sin 2xe^3x. Bepaal nu a en b.

[TD]

Nog een keer partiële integratie:

C(x)=(8/3)sin[2x]e^(3x)-(16/9)cos[2x]e^(3x)+(2/3)int[sin[2x]e^(3x)]

Dit leidt toch tot niets?

Toch wel, het rode deel is nu (op een constante factor na) weer C(x)... Haal dat naar het andere lid.

[Arie Bombarie]

Dat zag ik niet, bedankt.

Nu krijg ik dus:

C(x)=(8/3)sin[2x]e^(3x)-(16/9)cos[2x]e^(3x)+(2/3)int[sin[2x]e^(3x)dx]

C(x)=(8/3)sin[2x]e^(3x)-(16/9)cos[2x]e^(3x)+(1/12)C(x)+C1

(11/12)C(x)=(1/9)e^(3x)(24sin[2x]-16cos[2x])+C1

C(x)=(4/33)e^(3x)(24sin[2x]-16cos[2x])+C2

Dit is alleen toch nog wat anders dan de (juiste) oplossing van jhnbk...

[TD]

Wellicht onderweg een of meer rekenfoutjes gemaakt. Er kan nog een factor 8 buiten haakjes, maar je komt er inderdaad niet helemaal.