Det(-a)=?

[Basiliek.]

Een goede middag samen,

Ik zit met een vraagje:

Aan wat is de determinant van de negatieve coëfficiëntenmatrix gelijk?

Ik heb dit eerst zelf proberen bepalen via een eenvoudig voorbeeldje:

We hebben een matrix A met a11=a, a12=b, a21=c en a22=d

-> matrix -A met a11=-a, a12=-b, a21=-c en a22=-d

dus Det(A)=ad-bc en Det(-A)=ad-bc

Ik veronderstel dus dat Det(A)=Det(-A), maar geldt dit voor alle matrices?

[In physics I trust]

Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:

-1 * -1 *-1 = -1

[Xenion]

Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:

\(det(c*A) = c^n*det(A)\)

met c een getal

[Basiliek.]

Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:

-1 * -1 *-1 = -1

Je hebt gelijk, ik heb nu een willekeurige 3x3 matrix en ik kom idd het volgende uit:

Det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi

Det(-A)=-aei-bfg-cdh-ceg-afh-bdi

Hoe kan je dit symbolisch dan voorstellen? Redeneer ik juist als ik ik zeg dat Det(-A) het toegevoegde is van Det(A)? Of geldt de toegevoegde term enkel bij complexe getallen?

Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:

\(det(c*A) = c^n*det(A)\)

met c een getal

Excuseer ik had je bericht nog niet gelezen.

Je hebt inderdaad gelijk, maar hoe kun je dit aantonen? Bestaat er een bewijs hieromtrent?

Basiliek.

[In physics I trust]

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/linea.pdf

p63 ev

[Basiliek.]

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/linea.pdf

p63 ev

Bedankt.

[TD]

Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.

[Basiliek.]

Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.

Wat bedoelt u hier precies mee?

[Xenion]

Wat bedoelt u hier precies mee?

Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.

[Basiliek.]

Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.

Zo zit dat :eusa_whistle: .

Bedankt om me dit inzicht bij te brengen Td en Xenion.

[TD]

Wat bedoelt u hier precies mee?

Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & c \\ {\lambda d + \mu e} & f \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)

Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.

Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kⁿdet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.

[Basiliek.]

Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & c \\ {\lambda d + \mu e} & f \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)

Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.

Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kⁿdet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.

Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:

[Xenion]

Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:

De determinant is lineair in de kolommen, als de andere kolom ook nog eens lambda en mu zouden hebben zou je die in een volgende stap ook weer buiten de determinant kunnen brengen.

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & {\lambda c} \\ {\lambda d + \mu e} & {\lambda f} \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & {\lambda c} \\ d & {\lambda f} \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & {\lambda c} \\ e & {\lambda f} \\\end{array}} \right| = \lambda^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu\lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)

In dit voorbeeld zie je dat de hele matrix dus deelbaar is door lamba en als je het rechterlid weer herschrijft, maar je laat lambda² buiten staan dan heb je die eigenschap waar je naar vroeg ](*,)

[TD]

Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:

Dat is net het hele punt, de determinant is lineair in elke kolom (apart).

[Prot]

Als je bij een Determinant twee rijen of twee kolommen verwisselt dan gaat die in zijn tegengestelde over: Algemene Eigenschap van Determinanten.