Reeds bestaande stelling?

[Bartjes]

Hallo.

Misschien een domme vraag, maar is onderstaande stelling bekend?

De helft van de uitkomst van twee opgetelde getallen is gelijk aan beide afzonderlijke

getallen zelf, of staat exact tussen beide afzonderlijke getallen in.

Gr hvdw.

Er heerst een boel verwarring. Laat ik eens proberen je stelling in een scherpe wiskundige vorm te gieten. Je stelling luidt - als ik het goed begrijp - dat voor alle getallen a en b ofwel (α) ofwel (β) ofwel (γ) geldt. Waarbij:

(α) a = b = (a + b)/2 , in het geval dat a = b ;

(β) a + c = (a + b)/2 en a + 2c = b voor een positief getal c , in het geval dat a < b ;

(γ) b + c = (a + b)/2 en b + 2c = a voor een positief getal c , in het geval dat b < a .

[hvdw]

@Klintersaas.

Ik heb het ook over een derde als zijnde een derde van twee of drie afzonderlijke getallen!

Een derde van het exacte gemiddelde van drie getallen kun je ook plaatsen tussen die drie afzonderlijke getallen.

Of dit het exacte midden van die drie afzonderlijke getallen is, is een ander verhaal.

[317070]

Of dit het exacte midden van die drie afzonderlijke getallen is, is een ander verhaal.

En dat is logisch, want het midden van 3 getallen bestaat niet...

Tenzij je (zoals dikwijls) het definieert als het rekenkundige gemiddelde van die 3 getallen.

[hvdw]

Oké nog één keer. Het word hier veel moeilijker gemaakt dan nodig is, dit is basisschoolrekenen.

- Twee getallen. Bijv: 650 en 800

- Wat is de uitkomst van 650 + 800? Juist: 1450

- Volgende stap: Wat is de exacte helft van 1450? Juist: 725

- Wat is het exacte gemiddelde tussen 650 en 800, die we net bij elkaar optelden? Juist: ook 725

Deze verhouding keert dus telkens terug bij elke optelsom van twee getallen. Dus ik bedoel niet dat het rekenkundig

gemiddelde van twee getallen altijd de exacte helft is van die getallen, dat weet iedereen! Ik bedoel hier mee aan te geven dat dit dus enkel werkt bij twee optelgetallen die gedeeld moeten worden.

Bij drie optelgetallen of meer gaat bovenstaand verhaal dus niet op:

- 650 + 800 + 900 = 2350

- Het exacte gemiddelde tussen de drie afzonderlijke getallen is: Tussen 650 en 800 = 725 en tussen 800 en 900 = 850

- Tel deze twee exacte gemiddelden bij elkaar op: 725 + 850 = 1575

- De uitkomst: 1575 is niet de exacte helft van de uikomst van 650 + 800 + 900 = 2350. Dat is 1175.

Dit is mijn stelling. Simpel zat en absoluut niet vragend om allerlei ingewikkelde toetsingen.

Wat ik eenvoudigweg weten wilde is of dit model of stelling of hoe je het ook noemen wilt, bekend of geformuleerd is?

[Marko]

Oké nog één keer. Het word hier veel moeilijker gemaakt dan nodig is, dit is basisschoolrekenen.

Dat komt omdat je zelf niet duidelijk aangeeft wat je nu wil bespreken.

- Twee getallen. Bijv: 650 en 800

- Wat is de uitkomst van 650 + 800? Juist: 1450

- Volgende stap: Wat is de exacte helft van 1450? Juist: 725

- Wat is het exacte gemiddelde tussen 650 en 800, die we net bij elkaar optelden? Juist: ook 725

Deze verhouding keert dus telkens terug bij elke optelsom van twee getallen. Dus ik bedoel niet dat het rekenkundig

gemiddelde van twee getallen altijd de exacte helft is van die getallen, dat weet iedereen! Ik bedoel hier mee aan te geven dat dit dus enkel werkt bij twee optelgetallen die gedeeld moeten worden.

Omdat je door 2 deelt.

Bij drie optelgetallen of meer gaat bovenstaand verhaal dus niet op:

- 650 + 800 + 900 = 2350

- Het exacte gemiddelde tussen de drie afzonderlijke getallen is: Tussen 650 en 800 = 725 en tussen 800 en 900 = 850

Het gemiddelde van deze getallen is 2350/3. Wat je hier berekent zijn 2 gemiddeldes tussen telkens 2 van de 3 getallen. En dat terwijl er 3 mogelijkheden zijn...

- Tel deze twee exacte gemiddelden bij elkaar op: 725 + 850 = 1575

- De uitkomst: 1575 is niet de exacte helft van de uikomst van 650 + 800 + 900 = 2350. Dat is 1175.

Niet zo vreemd; in het eerste geval reken je 2 keer met het getal 800, in het tweede geval maar 1 keer. Het zal je dan misschien ook niet verbazen dat het verschil tussen beide getallen 800/2 is.

Dit is mijn stelling. Simpel zat en absoluut niet vragend om allerlei ingewikkelde toetsingen.

Wat ik eenvoudigweg weten wilde is of dit model of stelling of hoe je het ook noemen wilt, bekend of geformuleerd is?

Je maakt 2 keer een verschillend sommetje, en je krijgt 2 keer een verschillende uitkomst. Niets meer, en niets minder. Of je de eerste bent om zo'n sommetje te maken weet ik niet.

Als je je trucje netjes uitvoert gaat het wel op. Bij 3 getallen zijn er 3 mogelijke paren, met 3 gemiddeldes. Tel je die bij elkaar op, dan kom je - in dit geval - op 2350, en als je dat getal door 3 deelt, kom je op het gemiddelde van de 3 getallen uit.

[hvdw]

@marko.

Ik voer dit sommetje correct uit. Als je de tekst goed had gelezen zie je dat ik het juist uitleg.

Hoe wil je daarbij drie exacte gemiddeldes bepalen van drie afzonderlijke getallen?

650 - gemiddelde - 800 - gemiddelde - 900 - en nu???

Ik kan het niet simpeler uitleggen dan mijn voorgaande topic.

[Marko]

Inderdaad, je voert het sommetje correct uit. Maar je maakt wel 2 keer een verschillend sommetje, en dat is natuurlijk niet goed. In ieder geval is het dan niet vreemd dat er een ander antwoord uitkomt. In het eerste geval tel het gemiddelde van 650 en 800, (650+800)/2 dus, op bij het gemiddelde van 800 en 900, (800+900)/2. Je optelsom is dus:

(650 + 800)/2 + (800 + 900)/2 = (650 + 800 + 800 + 900)/2 = 1575

En het is niet zo vreemd dat dat een ander getal oplevert dan (650 + 800 + 900)/2.

Het derde gemiddelde dat je kunt nemen bij je 3 getallen is natuurlijk het gemiddelde tussen 650 en 900, dat is 775. Tel je dat getal op bij 725 en 850, dan kom je uit op 2350 - en als je dat getal door 3 deelt, bekom je het gemiddelde van alle 3 de getallen. Dát is de nette manier om het foefje bij 2 getallen te vergelijken met het foefje bij 3 getallen. Je moet de gemiddeldes van alle mogelijke getallenparen optellen en delen door het aantal mogelijke paren.

Het is dus inderdaad niet zo dat je het gemiddelde van 3 getallen kunt berekenen door het gemiddelde te nemen van het laagste en het middelste getal, en het gemiddelde van het middelste en het hoogste getal, en die twee gemiddeldes te middelen. Simpelweg omdat je het middelste getal 2 keer meetelt. Het wrkt alleen wanneer het middelste getal toevallig precies het gemiddelde van de andere 2 is.

[hvdw]

@Marko.

De eerste som en de tweede hebben niets nada met elkaar te maken!

Ik gebruik ze puur als twee aparte voorbeelden. Ik tel ze niet bij elkaar

op, ik deel ze niet met elkaar of wat dan ook. Ze staan LOS!!! van elkaar

en hebben in die zin niets met elkaar te maken. Het zijn twee aparte

voorbeelden. Ik zit hier blijkbaar verkeerd, ik kan het niet simpeler uitleggen.

Laten we deze topic maar sluiten, we komen er eenvoudigweg niet uit.

[Marko]

@Marko.

De eerste som en de tweede hebben niets nada met elkaar te maken!

Heel goed! Daarom komen er ook 2 verschillende antwoorden uit. Maar laten we even teruggaan naar je stelling: Die was dat het bij 3 getallen niet opgaat, omdat 2 verschillende uitkomsten krijgt:

Bij drie optelgetallen of meer gaat bovenstaand verhaal dus niet op:

- 650 + 800 + 900 = 2350

- Het exacte gemiddelde tussen de drie afzonderlijke getallen is: Tussen 650 en 800 = 725 en tussen 800 en 900 = 850

- Tel deze twee exacte gemiddelden bij elkaar op: 725 + 850 = 1575

- De uitkomst: 1575 is niet de exacte helft van de uikomst van 650 + 800 + 900 = 2350. Dat is 1175.

En het antwoord daarop is dat dat niet verwonderlijk is, omdat je iets heel anders aan het doen bent dan wanneer je maar met 2 getallen te maken hebt. Je hebt 3 getallen, van de 3 mogelijke getallenparen kies je er 2, waarvan je de gemiddeldes berekent en optelt. Dat is iets anders dan je deed bij het voorbeeld van de 2 getallen.

Ik gebruik ze puur als twee aparte voorbeelden. Ik tel ze niet bij elkaar

op, ik deel ze niet met elkaar of wat dan ook.

Dat doe je wel, want je berekent 2 gemiddeldes, en een gemiddelde berekenen is optellen en delen.

Ze staan LOS!!! van elkaar

en hebben in die zin niets met elkaar te maken. Het zijn twee aparte

voorbeelden. Ik zit hier blijkbaar verkeerd, ik kan het niet simpeler uitleggen.

Simpeler is nergens voor nodig. Eenduidiger wel. Want wat je nu doet is op 3 momenten 3 verschillende dingen zeggen.

Maar laten we nog even resumeren welke stellingen allemaal de revu zijn gepasseerd. Misschien heeft iemand nog wat aan het overzicht.

- Het gemiddelde van 2 getallen ligt altijd even ver van beide getallen af.

- Het gemiddelde van 3 getallen ligt nooit precies even ver van al deze 3 getallen af.

- Het maakt voor het berekenen van het gemiddelde van 2 getallen niet uit of je beide getallen eerst door 2 deelt en deze uitkomsten optelt, of dat je beide getallen optelt en de som door 2 deelt.

- Het gemiddelde van (het gemiddelde van het kleinste en het middelste getal) en (het gemiddelde van het middelste en het grootste getal) is niet gelijk aan de helft van de som van de 3 getallen, noch aan het gemiddelde van de 3 getallen.

[tjah]

- Het gemiddelde van 2 getallen ligt altijd even ver van beide getallen af.

- Het gemiddelde van 3 getallen ligt nooit precies even ver van al deze 3 getallen af.

- Het maakt voor het berekenen van het gemiddelde van 2 getallen niet uit of je beide getallen eerst door 2 deelt en deze uitkomsten optelt, of dat je beide getallen optelt en de som door 2 deelt.

- Het gemiddelde van (het gemiddelde van het kleinste en het middelste getal) en (het gemiddelde van het middelste en het grootste getal) is niet gelijk aan de helft van de som van de 3 getallen, noch aan het gemiddelde van de 3 getallen.

Volgens mij snap ik wel een beetje wat hier wordt bedoeld.

met de eerste stelling bedoeld hvdw denk ik dit:

650+((800-650)/2)=800-((800-650)/2)=(650+800)/2

oftwel

a+((b-a)/2)=b-((b-a)/2)=(a+b)/2=c

a+0,5b-0,5a=b-0,5b+0,5a=0,5a+0,5b=c

oftewel

0,5a+0,5b=0,5b+0,5a=0,5a+0,5b=c

Klopt dus, maar bestond ook al. Dit is inderdaad het principe van het gemiddelde, het feit dat het ook exact het midden is tussen twee getallen en dat dit niet geld voor drie getallen komt omdat onze getallen op een lijn staan namelijk de getallenlijn. Tussen twee punten op een lijn valt een exact midden te vinden. Dit geldt niet voor drie getallen.

Het feit dat dit topic zoveel posts bevat komt natuurlijk niet door de ingewikkeldheid van de stelling, maar des te eerder door de ingewikkeldheid van communiceren :eusa_whistle: .

[317070]

Inderdaad.

Wat er aan de hand is, is volgens mij het volgende:

Jij zegt dat je een stelling hebt, namelijk dat iets enkel geldt bij 2 getallen, en dat dat niet uitbreidbaar is bij meer getallen.

Wij willen anderzijds duidelijk maken dat dit enkel is omdat je op een verkeerde manier wil uitbreiden, als je op een andere manier uitbreidt, dan is hij wel uitbreidbaar naar meer getallen, en noemt het gewoon rekenkundig gemiddelde.

Het feit dat enkel 2 getallen een midden hebben, en 3 getallen niet, is omdat Euclides dit in de 3e eeuw voor Christus dit zo in zijn boek 'Elementia' of 'Στοιχεῖα' (Stoicheia) gedefinieerd heeft. Meer info kun je daarover hier vinden.

[hvdw]

Hallo.

Het feit dat Euclid destijds gedefinieerd heeft dat twee getallen altijd een

exact midden hebben wil volgens mij nog niet zeggen dat dat ook hoe logisch

het ook mag klinken ook de helft is van die twee opgetelde getallen.

Of wist ie dat destijds ook al?

Hier een klein schematje: 6 + 9 = 15 gedeeld door 2 = 7.5

Het exacte midden van 6 en 9 = ook 7.5

Zelfs wanneer je: 7.9 + 29.2 = 37.1 waarvan de helft van 37.1 exact 18.5,5 is

en dus ook het exacte midden van 7.9 en 29.2 is.

Dat bovenstaand model is zoals het is, waarbij het niet uitmaakt welke getallen je

gebruikt, zolang het er maar twee zijn en geen drie of meer; Was dat al algemeen

bekend, of al bedacht door Euclid, buiten het feit om dat het midden van twee

getallen altijd de helft is, want dat dat bekend is wisten we al? Ik hoop dat bovenstaande

wat duidelijker omschreven is dan voorgaande keren. Gr hvdw.

[tjah]

Het exacte midden van de 2 getallen a en b met b is groter dan a is te vinden door:

a+((b-a)/2)

OF

b-((b-a)/2)

Het gemiddelde van twee getallen is te vinden door:

(a+b)/2

Ik heb in mijn vorige post al aangetoond dat deze drie hetzelfde zijn.

Aangezien dit wel op vrij eenvoudige algebra is gebaseerd durf ik wel aan te nemen dat deze stelling al wel bestond misschien niet genoteerd, maar het volgt wel logischerwijs uit de definitie van het gemiddelde.

Ik hoop dat dat je vraag beantwoord.

[317070]

Het feit dat Euclid destijds gedefinieerd heeft dat twee getallen altijd een

exact midden hebben wil volgens mij nog niet zeggen dat dat ook hoe logisch

het ook mag klinken ook de helft is van die twee opgetelde getallen.

Of wist ie dat destijds ook al?

In die tijd werd er nog geen wiskunde gevoerd in getallen, enkel in meetkunde. Maar er is een grote 1-op-1 verband tussen de analyse en de meetkunde.

Anderzijds gebruik ook jij in je stelling meetkundige termen waar het eigenlijk niet juist is:

Wat is het midden tussen 2 getallen precies? Ik ken enkel de definitie voor het midden van 2 punten!

Als je zegt dat het midden van 2 getallen het getal is dat op dezelfde afstand van beide getallen ligt, dan is de vraag wat de afstand tussen die beide getallen is. Is de afstand tussen 2 getallen a en b

\(20 log(\frac{a}{b})\)

? De afstand tussen 2 getallen is ook een definitie waar ik nog nooit van gehoord heb...

Waarschijnlijk ga jij er op jouw beurt dan weer van uit dat die |a-b| moet zijn? Wel, dan luidt je oorspronkelijke stelling als je hem volledig correct wil, dus zo:

De helft van de uitkomst van twee opgetelde getallen is gelijk aan beide afzonderlijke

getallen zelf, of is het getal waar voor geldt dat de absolute waarde van (dit getal min het eerste getal), gelijk is aan de absolute waarde van (dit getal min het andere getal)

De stelling die je in je eerste post gaf zal, omdat hij niet goed genoeg geformuleerd is, nergens zijn neergeschreven, of toch niet op eenvoudig terugvindbare plaatsen. De stelling zoals hij hierboven staat is ook zo triviaal dat hij al op zo veel plaatsen gaat neergeschreven zijn, maar niet in terugvindbare plaatsen. Ik denk dat in ieder zijn berekeningen dit ooit al eens is voorgekomen, maar de stelling is te triviaal om in een boek te komen. De stelling in deze vorm was waarschijnlijk al bekend bij de ontdekker van de distributiviteit (al noemde hij het waarschijnlijk nog niet zo), en was dus waarschijnlijk (zeker) al bekend bij de oude Egyptenaren, of zelfs al bij de Babyloniërs.

Dus het antwoord op je vraag: ook al ga je het vrijwel nergens neergeschreven terugvinden omwille van de trivialiteit ervan, deze "stelling" is al zeker eeuwen, en waarschijnlijk millenia lang bekend.

Waarom wilde je dit eigenlijk weten?

[hvdw]

@317070

Quote:

Waarom wilde je dit eigenlijk weten?

Omdat dit totaal nergens te vinden is, waar je ook zoekt!

Gr hvdw.