Continuiteit

[jurggen]

dag,

twee functies die over een beperkt x gebied zijn gedefinieerd

a(x) = x^2-x x<= 2

b(x) = x^2-3 X>2

samen vormen ze de functie f(x)

nu ben ik erachter gekomendat deze functie discontinu is in x = 2 ,

omdat daar een 'sprong' plaatsvindt' van a(x) = 2 naar b(x) = 1

verder vindt ik bij de antwoorden dat de functie f(x) ook likscontinu is in 2, waarom niet rechtscontinu bv.?

dankuwel

[TD]

Heb je eens een grafiek gemaakt? Wat daarbij van belang is: wat is de functiewaarde in x = 2 zelf? Daar geldt maar een van de twee voorschriften.

[jurggen]

nu begrijp ik het : de functie is linkscontinu in 2 omdat f(x) dan in de limiet naar 2 gaat(volgt a(x)), was vergeten dat f(x) bestaat uit een stuk a(x) voor x<=2 en een stuk b(x) voor x>2 , uiterst dom van mij :eusa_whistle:

f(x) is rechtscontinu in 1 dan omdat alles (x>2) bij b(x) wordt gevolgd naar de sprong toe ,juist toch?

dankuwel

[TD]

We spreken over links- of rechtscontinu in x = a (een x-waarde), niet in een beeld (functiewaarde). De functie is dus overal continu, behalve in x = 2. Daar is de functie alleen linkscontinu omdat de linkerlimiet samenvalt met de functiewaarde, de rechterlimiet verschilt van de functiewaarde.

[jurggen]

jaja nu snap ik het volledig, maar f(x) is dus ook rechtscontinu in 1 , dat mag ik toch aannemen?

dankuwel

[TD]

Bedoel je nu continuïteit in x = 1? Dan is het antwoord ja, maar ook linkscontinu en dus gewoonweg "continu".

[jurggen]

wat ik bedoel : linkscontinu voor x = 2 omdat f(x) dan naar 2 gaat => a(x=2)=2 , dus het linkerdeel van f(x)

enkel rechtscontinu voor x > 2 , dus het rechterdeel van f(x)

voor f(x) met: x =1 en dus x < 2 , gaat dus over het linkerdeel (a(x)) van de f(x) waar linker/rechterlimiet hetzelfde is, zodat

f(x) daar dus continu is, hopelijk zit ik nu juist...

excuseer mij als mijn vorige posts wat verwarrend waren

dankuwel !

[TD]

wat ik bedoel : linkscontinu voor x = 2 omdat f(x) dan naar 2 gaat => a(x=2)=2 , dus het linkerdeel van f(x)

enkel rechtscontinu voor x > 2 , dus het rechterdeel van f(x)

Dit vind ik toch allemaal verwarrend geformuleerd. Het heeft geen zin te zeggen dat een bepaald "deel" van de functie al dan niet continu is. De hele functie f is niet continu in x = 2, de functie is er wel linkscontinu maar niet rechtscontinu.

voor f(x) met: x =1 en dus x < 2 , gaat dus over het linkerdeel (a(x)) van de f(x) waar linker/rechterlimiet hetzelfde is, zodat

f(x) daar dus continu is, hopelijk zit ik nu juist...

Waarom zou je in x = 1 kijken? Voor alle x verschillend van 2, is f continu (dus zowel links- als rechtscontinu).

[jurggen]

ik ben echt terug in de ware gebracht, sorry...

is deze functie dan enkel linkscontinu in x = 2 omdat enkel bij a(x) ,de x-waarden kleiner of gelijk mogen zijn aan 2 en dit geeft in het geval van x = 2 dus het verwachte functiebeeld

,maar omdat voor b(x) enkel x-waarden mogen die groter zijn dan 2 zal er dus geen sprake zijn van rechtcontinu van f(x)

ik kijk voor het geval x= 1 om aan te tonen dat dat link-en rechtscontinu idd gelijke functiewaarden geven => wat maakt dat de

f(x) daar continu is

dankuwel !

[TD]

Dat klinkt inderdaad al beter. Een functie is continu als de limiet er bestaat, dat betekent zowel linker- als rechterlimiet moeten bestaan én deze moeten gelijk zijn. Dat is voor deze functie in alle punten waar, behalve in x=2. Daar is de linkerlimiet gelijk aan 2 en de rechterlimiet gelijk aan 1. Maar de functiewaarde in x=2 is f(2) = 2, dus enkel de linkerlimiet valt samen met de functiewaarde: f is linkscontinu in x=2, niet rechtscontinu.

[jurggen]

nu kan ik me volledig bij je uitleg vinden, weer heel wat bijgeleerd vandaag :eusa_whistle:

dankuwel

[TD]

Oké, graag gedaan!

Als het gelijkheidsteken bij het andere deelvoorschrift stond, was de functie er rechtscontinu. Als het gelijkheidsteken nergens stond, maar f(2) nog eens apart gedefinieerd werd als bijvoorbeeld f(2) = 10, dan was de functie noch linkscontinu, noch rechtscontinu in x=2.

[jurggen]

ja, het gelijkheidsteken ,daar zat m'n grote fout !

het toch toch logisch dat, als de discontinuiteit ( f(2) = 10 ) apart vermeld staat , dat er dan geen sprake is van links- of rechtscontinu van f(x) anders zou men het ook niet apart definieren

dankuwel voor de verhelderende uitleg

[TD]

het toch toch logisch dat, als de discontinuiteit ( f(2) = 10 ) apart vermeld staat , dat er dan geen sprake is van links- of rechtscontinu van f(x) anders zou men het ook niet apart definieren

Let op, ze kunnen je natuurlijk ook proberen te misleiden: je kan in zo'n samengesteld voorschrift f(2) ook 'apart' definiëren als 1, dan zou f wel rechtscontinu zijn geweest. Ik nam nu als voorbeeld 10, zodat f er niet continu was, ook niet links- of rechtscontinu.

dankuwel voor de verhelderende uitleg

Graag gedaan.

[jurggen]

ja, idd zou zou je in theorie alle x-waarden van een functie telkens apart kunnen definieren om de continuiteit te duiden, maar dan heb je natuulijk oneindig veel werk , en is het maar de klus op zoek te naar 'verborgenen' discontinuiteit als er aanwezig zouden zijn, maar zo'n continuiteit duidt met niet aan met links/rechts ?

dankuwel