Taylorreeks

[SYoung]

Hallo,

Ik ben net even bezig geweest met taylorreeksen.

Het is mij nog steeds niet helemaal duidelijk, maar volgens mij begint het door te dringen.

Ik heb van de functie

\(\sqrt(1-x)\)

het begin van de Taylorreeks met centrum

\(x=0\)

geprobeerd te berekenen.

De Taylorreeks moest minstens vijf termen bevattn.

Als volgt:

\(\sqrt{1-x}\)

\(f'(x)=-1/(2\sqrt{1-x}) \Rightarrow f'(0)=-{1/2}\)

\(f''(x)=-1/(4(1-x)^{3/2}) \Rightarrow f''(0)=-1/4\)

\(f'''(x)=-3/(8(1-x)^{5/2}) \Rightarrow f''(0)=-3/8\)

\(f^{(4)}=-5/(16(1-x)^{7/2}) \Rightarrow f^{(4)}(0)=-5/16\)

\(f^{(5)}=-7/(32(1-x)^{9/2}) \Rightarrow f^{(5)}(0)=-7/32\)

Dus:

\(\sqrt{1-x} = 1-1/2x-1/8x^2-3/24x^3-5/64x^4-7/160x^5\)

Zoals jullie weten klopt dit niet.

Wat doe ik hier fout?

Bedankt



P.S. Hoe krijg ik een fatsoenlijke deelstreep? Dan ziet het er overzichtelijker uit.

[Westy]

Beste SYoung,

er is iets fout met je coefficienten van je 4de en 5de afgeleide,

die zijn niet

\( \frac{-5}{16}\)

en

\( \frac{-7}{32}\)

,

maar wel

\( \frac{-15}{16}\)

en

\( \frac{-105}{32}\)

,

Kom je d'er zo verder uit?

PS Als je op een breuk zoals hierboven klikt, opent er een venster met de gebruikte latexcode

[TD]

Zoals jullie weten klopt dit niet.

Wat doe ik hier fout?

Welke formule pas je precies toe? Daar moet ergens n! opduiken.

[SYoung]

Beste SYoung,

er is iets fout met je coefficienten van je 4de en 5de afgeleide,

die zijn niet

\( \frac{-5}{16}\)

en

\( \frac{-7}{32}\)

,

maar wel

\( \frac{-15}{16}\)

en

\( \frac{-105}{32}\)

,

Kom je d'er zo verder uit?

PS Als je op een breuk zoals hierboven klikt, opent er een venster met de gebruikte latexcode

Ah stomme fout, compleet over het hoofd gezien!

Bedankt.

Ik zie nu ook dat ik ook nog eens de faculteiten vergeten was..

Volgens mij is 5 dagen achter elkaar nonstop wiskunde vragen om fouten maken. haha

En dankje voor de latexcode

[SYoung]

Welke formule pas je precies toe? Daar moet ergens n! opduiken.

Ik was al bezig met het schrijven van een reactie voordat jij jou reactie gepost had.

Maar zoals je in mijn laatste reactie kan zien was ik dus ook de faculteiten vergeten.

Wat ik op papier heb staan klopt nu volgens de antwoorden achterin mijn boek.

Dus nu ben ik niks meer vergeten haha

[TD]

Prima .

[SYoung]

Nog een vraag

Ik ben nu bezig met het berekenen van de afgeleiden van:

\(\sqrt{1+x^{2}}\)

De eerste en tweede afgeleide is geen probleem, evenals het 2^e deel van de 3e afgeleide.

Hier krijg ik:

\(f'''(x)=\frac{3x^{3}}{(x^{2}+1)^{\frac{5}{2}}} - \frac{x}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\)

Met Wolfram-Alpha heb ik het ook uitgerekend om het zeker te weten, waaruit kwam:

\(f'''(x)=\frac{3x^{3}}{(x^{2}+1)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3x}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\)

De fout zit hem dus in het "tweede" deel, waar ik "x" heb en waar Wolfram "3x" heeft.

Ik heb het volgende namelijk op papier staan:

\(d(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}\)

\(= -\frac{1}{2} * 2x(1+x^{2})^{-\frac{3}{2}}\)

\( = -\frac{x}{(1+x^{2})^{-\frac{3}{2}}}\)

Wat doe ik fout?

[Westy]

voor 2de afgeleide zou je volgende 2 termen moeten hebben :

\((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}-x^2( 1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

PS het lijkt mij makkelijker om alles in de teller te laten staan en negatieve exponenten te gebruiken, maar dat is een persoonlijke mening...

Nu de derde afgeleide:

de afgeleide van de eerste term geeft

\(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

Om de afgeleide van de 2de term te vinden moet je de productregel toepassen,

die geeft dan 1 term met daarin exponent

\( -\frac{3}{2}\)

, die je dan kan optellen bij de vorige, en 1 term met daarin exponent

\( -\frac{5}{2}\)

Kom je er nu verder uit?

[SYoung]

voor 2de afgeleide zou je volgende 2 termen moeten hebben :

\((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}-x^2( 1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

PS het lijkt mij makkelijker om alles in de teller te laten staan en negatieve exponenten te gebruiken, maar dat is een persoonlijke mening...

Nu de derde afgeleide:

de afgeleide van de eerste term geeft

\(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

Om de afgeleide van de 2de term te vinden moet je de productregel toepassen,

die geeft dan 1 term met daarin exponent

\( -\frac{3}{2}\)

, die je dan kan optellen bij de vorige, en 1 term met daarin exponent

\( -\frac{5}{2}\)

Kom je er nu verder uit?

Ja dat heb ik voor de tweede afgeleide.

Wat jij nu zegt is volgens Wolfram-Alpha fout.

Je schrijft nu precies hetzelfde als wat ik in mijn vorige post geschreven heb, lees het nog maar eens na

De term waar de 3e macht in zit, heb ik namelijk goed.

Echter hebben jij en ik in de andere term boven de deelstreep

\(x\)

staan, waar dus volgens Wolfram

\(3x\)

moet staan.

[Westy]

Bij die

\(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

die jij hebt

wordt -zoals ik hierboven probeerde uit te leggen- nog eens

\(-2x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

bijgeteld, wat dan -3x ... geeft

Die -2x krijg je door de productregel toe te passen op de 2de term van je 2de afgeleide, want dat is een product van x^2 en

\((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

Zodat je uiteindelijk krijgt wat wolfram schrijft,

Zie je?

ik schrijf het even volledig uit, voor alle duidelijkheid en ook omdat ik niet langer kan blijven:

2de afgeleide is

\((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}-x^2( 1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

3de afgeleide:

\(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}-2x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}+3x^3 (1+x^2)^{-\frac{5}{2}}\)

wat geeft:

\(-3x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}+3x^3 (1+x^2)^{-\frac{5}{2}}\)

[SYoung]

Bij die

\(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

die jij hebt

wordt -zoals ik hierboven probeerde uit te leggen- nog eens

\(-2x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

bijgeteld, wat dan -3x ... geeft

Die -2x krijg je door de productregel toe te passen op de 2de term van je 2de afgeleide, want dat is een product van x^2 en

\((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

Zodat je uiteindelijk krijgt wat wolfram schrijft,

Zie je?

Natuurlijk, de productregel! Pff ik zie wel veel over het hoofd.

Excuses.

Dus je krijgt het volgende voor de 3e afgeleide:

\(f'''(x)=\left(\frac{3x^{3}}{(x^{2}+1)^{\frac{5}{2}}} - \frac{2x}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{x}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3x^{3}}{(x^{2}+1)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3x}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\)

Is er geen snellere methode om achter de Taylorreeks van

\(\sqrt{1+x^{2}}\)

te komen?

Want als je zo door moet gaan tot de 5e afgeleide, is dit wel erg veel schrijfwerk en kost het dus ook erg veel tijd!

[Westy]

Excuses zijn hoegenaamd niet nodig, 't is graag gedaan,

Ik ben blij dat je ziet waar het probleem(pje) zat.

Een kortere methode ken ik helaas niet, nee...

Die dingen zijn inderdaad tijdrovend...

Groetjes

[SYoung]

Excuses zijn hoegenaamd niet nodig, 't is graag gedaan,

Ik ben blij dat je ziet waar het probleem(pje) zat.

Een kortere methode ken ik helaas niet, nee...

Die dingen zijn inderdaad tijdrovend...

Groetjes

Okay

Ah jammer. Dan ligt de moeilijkheid van het ontwikkelen van een Taylorreeks dus niet in de reeks zelf, maar in het bepalen van de afgeleiden. (tenminste met centrum x=0)

Mocht iemand anders wel een kortere methode weten, dan hoor ik het graag!

Dan laat ik deze reeks nu voor wat hij is.. Eerst maar eens de andere stof leren voor mijn tentamen deze vrijdag, voordat ik zoveel tijd ga steken in een enkele reeks.

Bedankt!

[TD]

Als je net de Taylorreeks van sqrt(1-x) hebt opgesteld, is er zeker een snellere methode. Je bekomt sqrt(1+x²) door x te vervangen door -x² in sqrt(1-x). Vervang dus voor de reeks van sqrt(1+x²), elke x door -x² in de reeksontwikkeling van sqrt(1-x), die je eerder al bepaalde.

[SYoung]

Als je net de Taylorreeks van sqrt(1-x) hebt opgesteld, is er zeker een snellere methode. Je bekomt sqrt(1+x²) door x te vervangen door -x² in sqrt(1-x). Vervang dus voor de reeks van sqrt(1+x²), elke x door -x² in de reeksontwikkeling van sqrt(1-x), die je eerder al bepaalde.

Ja okay, dat klopt.

Maar er is dus geen snellere manier om een Taylorreeks vanaf scrape op een snellere manier op te stellen. (met de hand dan, met de computer is het zo gedaan)