Bewijs met mathematical induction

[michielb]

Hallo,

Ik moet woensdag een paar bewijzen inleveren maar één krijg ik niet af. Ik loop daar vast op de meest simpele stap.

Prove: For every n,m \(\in\)N, (\(\sum\)(2k-1))\(^m\) = \(n^{2m}\)

Met Mathetical Induction kan ik bewijzen dat P(n): \(\sum\)(2k-1) = \(n^2\) waar is.

Dan doe ik beide kanten tot de macht m en krijg je: (\(\sum\)(2k-1))\(^m\) = \(n^{2^m}\)

Dan blijft er nog 1 stap over, namelijk bewijzen dat \(n^{2^m}\) het zelfde is als \(n^{2m}\)

Dit ziet er simpel uit en we weten allemaal dat het waar is, maar hoe bewijs ik het?

[ZVdP]

Wel opletten met de notatie:

\(n^{2^m}\neq(n^2)^m=n^{2m}\)

Ben je zeker dat je deze regel ook moet bewijzen, aangezien dit een standaard rekenregel is?

Als je wil kan je deze ook met inductie aantonen, als je dan tenminste volgende regel mag aannemen:

\((n^2)^{m+1}=(n^2)^m(n^2)^1\)

[michielb]

Hallo,

Over de notatie heb je helemaal gelijk. Gelukkig staat het in mijn schrift wel goed maar ik ben net voor het eerst met latex bezig gegaan en kreeg die andere notatie zo snel niet goed.

En nu kan ik het niet meer wijzigen:(

Maar ter zake:p

Ik neem aan dat ik dat ook moet bewijzen omdat ze bij vraag a je laten bewijzen wat ik al bewezen heb. En dan is vraag b of dit dan ook waar is. Verder gelden bij ons geen standaard regels totdat je hem zelf bewezen hebt. Zo heb ik gisteren bewezen dat 5 + 0 = 5 en N + 0 = N haha.

Hoe heb je met die regel bewezen dat het klopt?

[dirkwb]

De vraag is onduidelijk: tot waar loopt de som? Kun je de LETTERLIJKE opgave geven? Ook pas je inductie verkeerd toe.

[michielb]

De letterlijke opgave staat in de 3e regel van mijn eerste post.

Verder kun je helemaal niet zien hoe ik MI heb toegepast, er staat alleen: met MI heb ik bewezen dat dit waar is.

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?

[ZVdP]

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?

Je moet mijn laatste formule nog een beetje verder uitwerken. De macht 1 kan je weglaten, en de macht m kan je vereenvoudigen door je inductiehypothese. Schrijf dan alles weer als 1 macht en het is bewezen.

[dirkwb]

De letterlijke opgave staat in de 3e regel van mijn eerste post.

Verder kun je helemaal niet zien hoe ik MI heb toegepast, er staat alleen: met MI heb ik bewezen dat dit waar is.

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?

Je bewijs klopt volgens mij niet. Je bewijst de formule voor m=1, maar je moet het nog bewijzen dat het geldt voor m+1 gegeven de inductieveronderstelling. Het bewijs voor m=1 is duidelijk, simpelweg een rekenkundige rij, maar je zegt op een gegeven moment "Dan doe ik beide kanten tot de macht m" en dat is geen bewijs.

[michielb]

@dirk

Dat je met MI ook N+1 moet bewijzen weet ik.

Maar zoals er staat in de 4e regel heb ik al met MI bewezen dat de regel waar is. En verder staat mijn bewijs hier helemaal niet, hoe kun je dat zien dat die niet klopt? ](*,)

Verder kan de tot de macht m kan wel gebruikt worden in een bewijs.

Als je moet bewijzen dat a^m = b^m en je eerst bewijst dat a=b mag je ook beide kanten tot de macht m doen.

De b staat hier voor n^2. dan staat er dus, (n^2)^m. dan hoef ik alleen nog maar aan te tonen dat (n^2)^m het zelfde is als n^2m

@zvdp

Bedankt, ik ga het eens proberen uit te werken! Ik post nog wel of het gelukt is:)

[dirkwb]

Verder kan de tot de macht m kan wel gebruikt worden in een bewijs.

Als je moet bewijzen dat a^m = b^m en je eerst bewijst dat a=b mag je ook beide kanten tot de macht m doen.

Interessant dat je dat gebruikt, want ik kom er niet uit. Kan ik je bewijs zien? Voor m=1 kan je bewijzen dat het klopt via de somformule van een rekenkundige rij. Als ik de inductieveronderstelling gebruik (voor een zekere m) dan volgt er voor m+1:

\( \sum_{k=0}^n (2k-1)^{m+1} = 2 \sum_{k=0}^n k(2k-1)^{m} - \sum_{k=0}^n (2k-1)^{m} =2 \sum_{k=0}^n k(2k-1)^{m} - n^{2m} \)

Hoe moet je hier dan verder?

[ZVdP]

Volgens de opgave staat de macht buiten de som

\(\Big(\sum_{k=1}^n (2k-1)\Big)^m=(n^2)^m\)

[dirkwb]

@ZVDP: je hebt helemaal gelijk, ik heb eroverheen gelezen!

\(\Big(\sum_{k=1}^n (2k-1)\Big)^{m+1} =\Big(\sum_{k=1}^n (2k-1)\Big)^{m} \cdot \Big(\sum_{k=1}^n (2k-1)\Big) = n^{2m} \cdot n^2 = n^{2(m+1)}\)

Dus het klopt!