Machten van eenheden

[Vladimir Lenin]

Wat ik mij al een tijdje afvraag is, er bestaan eenheden als

\(\displaystyle\frac{\mbox{kg}\cdot\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\)

. Tot nu toe heb ik alleen maar eenheden gezien van de vorm:

\(\displaystyle\frac{U_1^a\cdot U_2^b\cdot\ldots\cdot U_n^d}{\cdot U_{n+1}^e\cdot U_{n+2}^f\cdot\ldots\cdot U_{n+m}^h}\)

. Hierbij zie ik een

\(U\)

niet als eender welke eenheid maar als een fundamentele eenheid, dit is dus de kilogram, meter, candela, seconde, ampere, kelvin, en mol. Of bestaan er eenheden als bijvoorbeeld

\(\sqrt{\mbox{m}}\)

?

[Filippus]

Of bestaan er eenheden als bijvoorbeeld

\(\sqrt{\mbox{m}}\)

?

Een voorbeeld van een grootheid met een wortel in de eenheid is de Breuktaaiheid (eenheid:

\(Pa\sqrt{\mbox{m}}\)

).

[Jan van de Velde]

Leuke oude topic in dit verband:

Een voorbeeld van een grootheid met een wortel in de eenheid is de Breuktaaiheid (eenheid:

\(Pa\sqrt{\mbox{m}}\)

).

en daar komt die in bericht nr 15 ook ter sprake ](*,)

[Vladimir Lenin]

maar ik neem aan dat je met

\(Pa\)

eigenlijk

\(\mbox{Pa}\)

bedoelt. En dit is geen fundamentele eenheid. Dus bijgevolg klopt de eenheid al niet. Als ik deze echter substitueer bekom ik inderdaad nog steeds een wortel. Heel vreemd, hoe kun je een wortel van een meter dan fysisch interpreteren??

[Filippus]

dit is geen fundamentele eenheid. Dus bijgevolg klopt de eenheid al niet.

Natuurlijk klopt de eenheid wel, de Pascal is zoals je weet de SI-eenheid voor druk. Er is geen wetenschapper die de breuktaaiheid gaat uitschrijven in SI-basiseenheden (dat zou pas vreemd zijn).

Als ik deze echter substitueer bekom ik inderdaad nog steeds een wortel.

Uiteraard. dit volgt uit het feit dat geen enkele SI-eenheid, uitgedrukt in basiseenheden, een wortel bevat.

Heel vreemd, hoe kun je een wortel van een meter dan fysisch interpreteren??

De breuktaaiheid is een materiaalparameter (constante dus). Verder geldt voor de breuktaaiheid

\(K_{1c} \)

:

\(K_{1c} = Y \sigma \sqrt{\pi c}\)

Hierin is

\(Y\)

de elasticiteitsmodulus,

\(\sigma\)

de uitgeoefende spanning en

\(c\)

de scheurlengte. De breuktaaiheid van een materiaal is dus recht evenredig met de wortel van de scheurlengte ](*,) .

[Vladimir Lenin]

1. Er bestaan bij mijn weten in het SI-stelsel maar 7 fundamentele eenheden: kilogram, meter, candela, ampere, mol, kelvin en seconde

2. Verder ben ik akkoord, maar dat betekent dat er grootheden bestaan die an zich een eenheid hebben, die fysisch geen interpretatie heeft.

[jkien]

... Of bestaan er eenheden als bijvoorbeeld \(\sqrt{\mbox{m}}\)?

Stel je voor dat de hectare als fundamentele eenheid was gekozen i.p.v. de meter, dan zouden er veel eenheden zijn met de factor \(\sqrt{hectare}\). Er zit dus geen absolute noodzaak achter de zeldzaamheid van gebroken machten van basiseenheden.


Overigens, je kunt de eenhedenruimte grafisch weergeven, voor de eenheden van de mechanica is dat een driedimensionale ruimte. De gebruikelijke eenheden liggen op de gehele roosterpunten, maar punten daartussen zijn niet verboden.

Onderstaande figuur is iets beter, omdat het precies aansluit bij wikipedia. Elk roosterpunt is eigenlijk een dimensie, i.p.v een eenheid. Bijvoorbeeld de eenheden J en kWh hebben dezelfde plaats in dit diagram, en dus dezelfde dimensie, (2,-2,1).

[Vladimir Lenin]

Tja, maar voor zover ik weet is hectare nog altijd een substituut van

\(m^2\)

. Volgens bij dienen fundamentele eenheden ondeelbaar te zijn, waarbij dus geen wortels en andere operaties mogelijk zijn. De wortel van een hectare heeft nog altijd een fysische interpretatie. Namelijk de meter wat een afstand meet. De vierkantswortel van meter heeft bij mijn weten geen interpretatie. Alleen door wiskundige operaties, kun je er een interpretatie aan geven (kwadrateren of vermenigvuldigen met

\(\sqrt{m}\)

). Anders is de definitie van fundamentele eenheid wel erg zwak gekozen.

[Filippus]

1. Er bestaan bij mijn weten in het SI-stelsel maar 7 fundamentele eenheden: kilogram, meter, candela, ampere, mol, kelvin en seconde

Klopt, slechts 7 SI-basiseenheden, maar dat neemt niet weg dat veel grootheden (druk, kracht, arbeid,...) in andere SI-eenheden worden uitgedrukt.

[bessie]

De basiseenheden van het SI zijn zo gekozen dat ze de laagste orde geven van de bekende meetbare fysische grootheden. Dus als bekend is dat van twee meetbare grootheden de één het kwadraat is van de ander, is de eerste als basisgrootheid genomen en diens eenheid als basiseenheid. De genoemde breuktaaiheid is een niet-meetbare fysische grootheid.

Ik heb ooit op het VWO de bijdehandte vraag gesteld, wat de afgeleide van de versnelling voorstelt. Immers de tijdsafgeleide van de afstand (in m) was de snelheid (in m/s) en de afgeleide daarvan was de versnelling a in m/s2. Deze had een directe relatie met de kracht, en was dus in principe meetbaar. Wat was dan de versnellingsversnelling in m/s3, bestaat die dan niet? Het antwoord was natuurlijk nee die heeft alleen wiskundige betekenis.

Dat is natuurlijk een voorbeeld waarbij de exponent groter gemaakt wordt, niet gedeeld. Ik denk dat het toch de idee van het SI weergeeft, nl. dat een meetbare grootheid in principe niet wordt gemeten in delen van basiseenheden.

[jkien]

De basiseenheden van het SI zijn zo gekozen dat ze de laagste orde geven van de bekende meetbare fysische grootheden. Dus als bekend is dat van twee meetbare grootheden de één het kwadraat is van de ander, is de eerste als basisgrootheid genomen en diens eenheid als basiseenheid.

Dat begrijp ik niet. Ik definieer vandaag de grootheid X als de wortel van de temperatuur T. X is uiteraard net zo goed meetbaar als T. Dan moet het SI vanaf heden overschakelen van T naar X?

[Vladimir Lenin]

Dat lijkt me idd het goede criteria voor een fundamentele eenheid, een fundamentele eenheid zou niet deelbaar mogen zijn. Met een eenheid als

\(\mbox{x}=\sqrt{\mbox{m}}\)

wordt gesuggereerd dat meter eigenlijk een samengestelde eenheid is van

\(x\)

. Iets wat het idee van een fundamentele eenheid tegenspreekt. Indien zo'n systeem niet samen te stellen valt, betekent dit dat een fysisch systeem niet terug te plooien is op de aanwezigheid van bepaalde kerndeeltjes lijkt me.

[Rogier]

Je kunt toch altijd bij iedere willekeurige eenheid u of grootheid T een nieuwe eenheid

\(x=\sqrt{u}\)

verzinnen, of een grootheid X die zich verhoudt als

\(\sqrt{T}\)

? Dat wil toch niet zeggen dat die nieuwe eenheid of grootheid een (meer) elementaire fysische betekenis heeft?

[bessie]

De laatste drie antwoorden waren iets onduidelijk omdat ze niet precies aangaven waar ze het antwoord op waren, en ik kan dan ook niet precies bepalen wie het met het principe dat ik noemde eens zijn.

Dat principe was dat het SI zo is ingericht dat elke meetbare grootheid uit te drukken is in basiseenheden danwel gehele machten daarvan.

Het is idd mogelijk een grootheid te verzinnen die uitgedrukt zou moeten worden in wortel(m) maar dat moet dan wel een meetbare, fysische grootheid zijn. Over het voorbeeld van de breuktaaiheid kan ik eigenlijk geen uitspraak doen omdat ik hem niet ken. Ik betwijfel echter of hij direct fysisch meetbaar is. Andere voorbeelden ken ik ook niet.

Meetbaarheid moet misschien worden gedefinieerd om het bovenstaande te bevestigen of ontkrachten. Ik kan geen goede definitie vinden. Iemand?

[Vladimir Lenin]

Je kunt toch altijd bij iedere willekeurige eenheid u of grootheid T een nieuwe eenheid

\(x=\sqrt{u}\)

verzinnen, of een grootheid X die zich verhoudt als

\(\sqrt{T}\)

? Dat wil toch niet zeggen dat die nieuwe eenheid of grootheid een (meer) elementaire fysische betekenis heeft?

Ik bedoel dat het wel degelijk een fysisch nut heeft. Een expressie zoals bijvoorbeeld

\(\displaystyle\frac{\mbox{K}^4\cdot\mbox{mol}^7\cdot\mbox{s}^2010}{\mbox{A}^1302\cdot \mbox{cd}^1425}\)

heeft volgens mij geen enkel nut. De vraag is dus of een eenheid als

\(\sqrt{m}\)

eigenlijk niet fundamenteler is, en dus een afstand eigenlijk een samengestelde eenheid is uit tweemaal dezelfde eenheid.

Ik vraag me dus af of er een systeem te ontwikkelen valt zodanig dat alles wat gemeten wordt, en alle constanten die zin hebben in het fysisch systeem alleen als een product van machten (eventueel negatieve) geschreven kan worden. Immers is dergelijk notatiesysteem makkelijk te interpreteren vanuit de interpretaties van de fundamenten.

De breuktaaiheid lijkt dit echter tegen te spreken. Ofwel is de meter ten onrechte een fundamentele eenheid en dient

\(\sqrt{\mbox{m}}\)

als fundamentele eenheid geïntroduceerd te worden.