Arbeid

[Anonymous]

Dan is volgens mij de integraalrekening toch eenvoudiger hoor.

Voor iemand die geen integralen kent is logisch aanvoelen dat x=a.t²/2 correct is volgens mij eenvoudiger dan integralen leren, niet?

[Pollop XXIII]

Dit geldt enkel bij constante versnelling!

Snelheid kan je slechts bepalen aan de hand van plaatsverschillen op verschillende tijdstippen.

=> v = dx / dt

Versnelling kan je slechts bepalen aan de hand van snelheidsverschillen op verschilende tijdstippen.

=> a = dx / dt

dx = v . dt

=> x = v . dt

=> x = [ a . dt] . dt

Bij constante versnelling mag je a buiten de integraal brengen en geldt:

x = a . t . dt = (a . t²) / 2

Intuïtief (bij constante versnelling):

-Begincondities:

x(i) = 0 m

v(i) = 0 m / s

a(i) = a(u) = 1 m / s²

=> Eindcondities (na 1 seconde) ???

v(u) = 1 m / s WANT we versnellen gedurende 1 seconde met [1 m/s] per seconde

De snelheid NA één seconde is 1 m/s!

Als deze snelheid er constant was geweest hadden we na 1 seconde één meter afgelegd (a . t² = 1 m/s² . 1 s² = 1 m).

We zijn echter vertrokken van snelheid 0 m/s => De afgelegde weg x(u) - x(i) = x(u) - 0 = x(u) = 0,5 meter = (a . t²) / 2

Na een halve seconde bvb. zien we echter:

x(na 0,5 seconde) = [1 m/s² . (0,5 s)²] / 2 = 0,125 m

=> x(vanaf 0,5 seconde tot 1 seconde) = x(u) - x(na 0,5 seconde)

=> x(0,5 s --> 1 s) = 0,5 m - 0,125 m = 0,375 meter

Dit is toch logisch?

Ik versnel, dus mijn gemiddelde snelheid zal de tweede halve seconde hoger liggen dan de eerste halve seconde, dus de afgelegde afstand is de tweede halve seconde dan ook groter dan de eerste halve seconde !!!

Dit had ik inmiddels begrepen maar toch bedankt voor de uitleg. Ik heb exact hetzelfde geredeneerd gisteren, en eindelijk viel toen mijn frank/euro

En uiteraard geldt dit enkel bij een constante versnelling, want als je een v, t grafiek uittekent moet dit een rechte lijn zijn, anders kan je het gemiddelde niet nemen op de manier zoals ik die ken. Als je een kromme krijgt in je v,t grafiek, en je wil de gemiddelde snelheid bepalen, kan je dat dan met integralen doen? (de optelling delen door 2 gaat dan niet meer op omdat het geen rechte is)

Integralen is toch de oppervlakte tussen de functie en de grafiek bepalen, dus als je dan de oppervlakte onder de curve berekend (dan heb je de v waardes bijeen) en ze dan deelt door de t waarde, krijg je volgens mij de gemiddelde v waarde. Klopt dit? Of ben ik hier aan het zeveren?

En is er trouwens een bepaalde bewerking om je integralen te berekenen? Als je functie een rechte is, kan je gemakkelijk de oppervlakte eronder berekenen, maar bestaan er systemen om bijvoorbeeld, ik zeg zo maar iets, de oppervlakte tussen de functie 5x³-3x en de x-as vanaf de oorsprong tot punt x te berekenen?

Afijn, je moet hierop niet antwoorden als dit een lange uitleg vergt, ik heb jullie hier al lang genoeg bezig gehouden...

[aaargh]

En is er trouwens een bepaalde bewerking om je integralen te berekenen? Als je functie een rechte is, kan je gemakkelijk de oppervlakte eronder berekenen, maar bestaan er systemen om bijvoorbeeld, ik zeg zo maar iets, de oppervlakte tussen de functie 5x³-3x en de x-as vanaf de oorsprong tot punt x te berekenen?

Afijn, je moet hierop niet antwoorden als dit een lange uitleg vergt, ik heb jullie hier al lang genoeg bezig gehouden...  

Voor de oppervlakte van de oorsprong tot punt 10 te berekenen onder f(x) neem je gewoon:

(0->x) f(x) dx

In het geval van 5x^3-3x: de integraal van 5x^3-3x is 5/4*x^4-3/2*x^2.

Dit noemen we functie F(x). Nu nemen we F(10)-F(0). DIt is 12350. De oppervlakte is dus 12350. Die F(x) is een integraal van f(x), we noemen die de primitieve.

[Pollop XXIII]

Ahaaa! Tof!

Berkenen je de primitieve dan volgens een regel die lijkt op zoiets al dit hier (ik probeer maar hoor):

Primitieve ax^n+bx^q = (a/n+1)x^(n+1) + (b/q+1)x^(q+1)

Kan dit?

[DVR]

Ahaaa! Tof!

Berkenen je de primitieve dan volgens een regel die lijkt op zoiets al dit hier (ik probeer maar hoor):

Primitieve ax^n+bx^q = (a/n+1)x^(n+1) + (b/q+1)x^(q+1)

Kan dit?

Inderdaad, als je hem weer differentieert levert ie weer de oorspronkelijke functie op.. En om volledig te zijn: eigenlijk is het

(a/n+1)x^(n+1) + (b/q+1)x^(q+1) + c,

waarbij c een constante is.. Immers, de afgeleide van een constante is nul..

Maar goed, we zitten hier niet in het wiskunde gedeelte Voor verdere discussie en vragen over hoe primitiveren/integreren in het algemeen werkt kun je hier terecht...