Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht

[Fons]

Geachte,

Deze opgave wens ik graag te kunnen oplossen:

[attachment=7116:Lineaire...bewijzen.png]

Het ontbreekt mij echter aan de benodigde kennis. Vandaar mijn vraag: wie kan mij op weg helpen door de theorie (en de trucjes hierbij) aan te reiken? (Ik heb dit nog niet mogen vinden via Google'n (op WSF) of in mijn cursussen.)

Hartelijk dank,

Fons

[flamey]

De opgave is een beetje vreemd gesteld. Lineair in welk argument? x, y of z? Misschien bedoelen ze dat je moet laten zien dat ze multilineair zijn. Een functie is nl multilineair als deze lineair is in elk van de argumenten.

Bijv. f(x,y,z) is lineair in x als

f(a*x1+b*x2,y,z)=a*f(x1,y,z)+b*f(x2,y,z), voor constanten a en b willekeurig (hint voor 2: die werkt al niet voor negatieve constanten-> niet lineair).

Omdat je functies vectoren zijn moet je bovenstaande eigenschap nagaan voor elke component en voor elk argument.

[Fons]

Dag Flamey,

Hartelijk dank voor het vlotte antwoord. Ik heb nog wat verder gestoeid. Zie het volgende document:

scan0001 1202 keer bekeken

De benodigde theorie/definitie en bijbehorende propositie is gegeven. Tevens een voorbeeld dat ik nu tracht uit te werken.

Mijn vragen zijn nu:

1. Is A inderdaad gelijk aan B? Mag ik dit zo stellen?

2. Zijn waarden voor A,B en C correct?

3. Hoe laat ik zien / hoe zie ik dat de functie niet lineair is omdat deze niet aan voorwaarde 2 voldoet?

Bijzonder veel dank bij voorbaat,

Fons

[Rogier]

Je schrijft

\(A=f(\lambda(x_1,x_2))=B\)

, dat is in deze context misschien niet de handigste notatie. Je kunt die eerste regel (met A) weglaten, en gewoon beginnen met

\(f(\lambda x_1, \lambda x_2)\)

en dan aantonen dat dat ongelijk is aan

\(\lambda f(x_1,x_2)\)

.

Dat is voldoende om aan te tonen dat f niet lineair is. Als f aan één van beide eisen niet voldoet is f al niet lineair.

[Fons]

Hartelijk dank voor de vlotte reactie.

Dus:

K=

\(f(\lambda x_1, \lambda x_2)\)

= 2.(3*3)^2-3.3=153

L=

\(\lambda f(x_1,x_2)\)

= 3.(2.3^2-3)=45

En dan mag je dus zeggen dat omdat K niet gelijk is aan L, f niet lineair is daar niet aan één van beide eisen is voldaan.

Ik ga mij buigen over de overige vragen en zal mij hoogstwaarschijnlijk terug opnieuw melden.

Merci voor het helpen,

Fons

[WernerP]

Ik wilde toch even het volgende opmerken, omdat je hier enkele tegenargumenten van lineariteit mooi op een rijtje ziet staan.

Nummer 3 is met een zeer eenvoudig argument te debunken. Een lineaire functie f:V -> W moet het nulelement van V op het nulelement van W afbeelden. Bij nr. 3 is dit niet het geval.

In de overige twee gevallen: om te bewijzen dat iets *niet* lineair is - het vermoeden is meestal al ingegeven door het voorkomen van kwadraten, wortels,...) is het voldoende om 1 tegenvoorbeeld te geven.

De methode omschreven voor 3 werkt echter niet.

Voor nummer 2 is bijvoorbeeld f(-1,-1) = (1,-1) maar -f(1,1) = (-1,-1), terwijl voor een lineaire functie wel waar zou moeten zijn dat af(x,y)=f(ax,ay).

Nummer 1 is IMHO wel lineair, maar je moet de vorm in het rechterlid eerst vereenvoudigen.

[Fons]

Nummer 3 is met een zeer eenvoudig argument te debunken. Een lineaire functie f:V -> W moet het nulelement van V op het nulelement van W afbeelden. Bij nr. 3 is dit niet het geval.

Ik ben mij bewust van dit argument. Voor nummer 3, mag ik dit dan zo omschrijven?

Als mijn input gelijk is aan 0, moet ook mijn output gelijk zijn aan 0. Is dit het geval, dan is de functie lineair. (/Kan deze lineair zijn?)

Als x=0 en y=0, dan is mijn output: (0+0+1,z-0+1,0+z-1)=(1,z+1,z-1). Dit is niet gelijk aan 0. Nummer kan dus geen lineaire functie zijn.

Ben benieuwd.

Verder:

- Nummer 1 is inderdaad lineair. Mijn uitwerking is OK bevonden door de docent.

- Nummer 2 kan ik prima volgen.

Grote dank,

Fons

[Rogier]

En dan mag je dus zeggen dat omdat K niet gelijk is aan L, f niet lineair is daar niet aan één van beide eisen is voldaan.

Klopt.

[WernerP]

Als mijn input gelijk is aan 0, moet ook mijn output gelijk zijn aan 0. Is dit het geval, dan is de functie lineair. (/Kan deze lineair zijn?)

Neen, is dit NIET het geval dan is de functie NIET lineair. Is dit WEL het geval dan bewijst het bovenstaande niets. De functie f(x)=x^2 heeft ook de eigenschap dat f(0)=0 maar is ten zeerste niet lineair. De test is dus uitsluitend een laten we zeggen "negatief criterium".

[Fons]

Neen, is dit NIET het geval dan is de functie NIET lineair. Is dit WEL het geval dan bewijst het bovenstaande niets. De functie f(x)=x^2 heeft ook de eigenschap dat f(0)=0 maar is ten zeerste niet lineair. De test is dus uitsluitend een laten we zeggen "negatief criterium".

OK, het is goed dat U dit benadrukt.

Hartelijk dank,

Fons