Eigenwaarde + norm

[dirkwb]

Zij

\( A \in \cc ^{nxn} \)

en stel dat

\( \rho = \max_{1 \le i \le n}|\lambda_i| \)

met

\( \lambda_i \, (i = 1, 2, \dots, n) \)

de eigenwaardes van A. Laat zien dat er voor elke

\(\epsilon >0 \)

een inverteerbare

\( X \in \cc ^{nxn} \)

bestaat zodanig dat:

\( \|X^{-1}AX\|_2 \le \rho + \varepsilon \)

Kan iemand me op weg helpen?

Ik denk dat ik een idee heb. Als ik gebruikmaak van de Jordan normal form theorem dan is er een matrix V zodanig dat

\(A= VJV^{-1}\)

. Stel dat ik voor X nu neem:

\(X= V\)

dan wordt de norm:

\( \|X^{-1}AX\|_2 = \|{V^{-1}} VJV^{-1} {V^{-1} }\|_2 = \|J\|_2 = \rho \)

dan geldt er dus zeker voor elke

\(\epsilon >0 \)

:

\( \|X^{-1}AX\|_2 \le \rho + \varepsilon \)

Klopt dit?

[flamey]

\( \|J\|_2 = \rho \)

. Waarom is dit waar?

\(\rho\)

heeft toch betrekking op de Matrix A, niet op J?

[flamey]

Ok, vergeet mijn vorige opmerking. Is het niet waar dat:

\( \|J\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}} \)

, met

\(\lambda_{max}\)

de grootste eigenwaarde van de matrix J*J (J* is de hermitisch geconjugeerde van J)?

[dirkwb]

Je hebt volgens mij gelijk in die stap gaat het fout. Hoe moet het dan wel?

[dirkwb]

Ik heb denk ik: het antwoord is volgens mij de Schur-ontbinding. Als X=Q met

\( A=QUQ^{-1} \)

dan krijg je:

\( \|U\|_2=\rho \)

Edit: dit klopt ook niet U is een bovendriehoeksmatrix.

[flamey]

Mij is het helaas ook nog niet gelukt om een goed bewijs te geven. Het enige wat ik kan zeggen is dat het heel veel lijkt op een tussenstap in het bewijs van Gelfand's formula (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius), maar dan heb je hier specifiek de 2 norm gekozen en heb je X^-1AX ipv A.

[dirkwb]

Heb je nog een idee flamey? De SVD bestaat namelijk ook maar dat is zeker niet nuttig, of wel?

[flamey]

Helaas heb ik nog steeds geen idee... Ik heb nog iets geprobeerd met de equivalentie van normen (omdat het in deze opgave echt specifiek over de 2-norm gaat), maar het mocht niet baten. Is dit een opgave voor een bep. cursus? Zo ja, heeft de docent dan geen hint?

[dirkwb]

Nee, dit is een opgave die ik heb gevonden (zonder hint of docent dus). Hte probleem is dat er geldt:

\(||A||_2 \geq \rho \)

Wat het erg lastig maakt.

[flamey]

Kun je misschien de bron geven van deze opgave? Als het bijv. van een boek is kan ik zien wat er in het betreffende hoofdstuk precies wordt behandeld.

Heb je trouwens ook nog naar mijn opmerking gekeken dat de stelling heel veel lijkt op het eerste stukje van Gel'fands formule? (zie bijlage).

[flamey]

Omdat ik zelf ook nogal benieuwd was naar de oplossing, heb ik maar een docent gemaild waarvan ik ooit lineaire algebra heb gehad. Hij kwam met een vrij elegant bewijs, dat ik hieronder zal schetsen (dus credits gaan naar hem ).

Je mag zonder verlies van algemeenheid al aannemen dat A in Jordannormaalvorm is (je mag immers A transformeren met elke willekeurige matrix X). Nu bekijk je bijv. 1 blok. Als voorbeeld neem ik een 4x4 blok, die dan de volgende vorm heeft.

J_i=

[a 1 0 0

0 a 1 0

0 0 a 1

0 0 0 a],

met a de eigenwaarde van het betreffende blok. Dit blok kun je transformeren met C= diag{t,t^2,t^3,t^4} zodat

C^-1*J_i*C=

[a t 0 0

0 a t 0

0 0 a t

0 0 0 a]

Voor t->0 is de 2-norm van dit specifieke blok gelijk aan |a|, dus voor t voldoende klein is dit gelijk aan |a|+e. Herhaal deze procedure voor elk blok, construeer hieruit je matrix X en dan heb je het bewijs geleverd .

[dirkwb]

Ik snap niet hoe je bewijst dat de 2-norm van C^-1*J_i*C gelijk is aan |a|+e. Kan je dat toelichten?

[flamey]

Dit geldt alleen in de limiet t->0. Dan is D=C^-1.J_i.C diagonaal en D*D=diag{a^2,a^2,a^2,a^2}. Op een diagonaal van een diagonale matrix staan de eigenwaarden van de betreffende matrix. Dan volgt het resultaat uit de definitie voor de 2-norm van een matrix. De 'e' komt van het feit dat je een limiet neemt. Dit is de epsilon groter dan nul van je stelling. (Ik was te lui om ε te typen, sorry daarvoor). Let op dat het essentieel is dat het hier gaat om een limietproces, want voor t=0 is de matrix C niet inverteerbaar!

Hopelijk is het nu duidelijker .

[flamey]

Dan is D=C^-1.J_i.C diagonaal en D*D=diag{a^2,a^2,a^2,a^2}.

Nog een kleine toevoeging en correctie: D* is hier de hermitisch geconjugeerde van D, en in bovenstaande moet a^2 vervangen worden door |a|^2, want de matrix D hoeft niet per se hermitisch te zijn.

[dirkwb]

Ik snap dat als je t->0 neemt dat er een diagonaalmatrix ontstaat. Maar als er een getal staat op de (bovenste) subdiagonaal van J_new= C^-1*J_i*C dan is het uitrekenen van J_new*J_new (met * is hermitisch geconjugeerd) helemaal niet makkelijk. Ik heb het met matlab uitgerekend voor een 4x4-matrix en er komt iets heel groots uit voor de eigenwaarden van die matrix. Mij gaat het erom hoe je bewijst dat, als t niet gelijk is aan nul, dan de eigenwaarde van die matrix |a|+e is.