Eigenwaarde + norm

[flamey]

Het gaat er om dat t voldoende klein is. Ik zal het anders expliciet maken. Schrijf bijv. D=D(t)

Dan:

\(\lim_{t \to 0}||D||_2 = |a| \)

.

Hiermee ben je het denk ik wel mee eens.

Dan uit de definitie van de limiet hebben we

\(\forall \varepsilon>0 \quad \forall t\in\mathbb{R} \;\exists \delta>0 \quad |t|<\delta \Rightarrow |(||D(t)||_2-|a|)|<\varepsilon.\)

Uit de laatste regel kun je dan schrijven dat

\(||D(t)||_2<|a|+\varepsilon.\)

[dirkwb]

Dat klopt w.b.t die laatste regel, maar is incompleet (niet voor niets staat die absolute waarde er). Je hebt nog steeds niet bewezen dat het zo is.

[flamey]

Je hebt toch laten zien dat dit geldt? Je kan (moet) het zelfs expliciet uitrekenen.

\(\lim_{t \to 0}||D||_2 = |a| \)

De laatste regel is gewoon het herschrijven van bovenstaand feit. Ik snap ook niet waarom het incompleet zou zijn door de absolute waarde? In je spectral radius kijk je bijv. toch naar de grootste eigenwaarde in absolute waarde? Of was dit niet je probleem?

Bedoelde je anders de buitenste absolute waarden in:

\(|(||D(t)||_2-|a|)|<\varepsilon.\)

Want hieruit volgt i.h.a. dat:

\(|a|-\varepsilon<||D(t)||_2<|a|+\varepsilon.\)

Het linkergedeelte van deze ongelijkheid heb je niet nodig, maar komt omdat t zowel positief of negatief kan zijn.

[dirkwb]

Ik zie het nu. Rest alleen nu de gelijk aan. Kleiner dan is bewezen.

[flamey]

Nee, dit is een opgave die ik heb gevonden (zonder hint of docent dus). Hte probleem is dat er geldt:

\(||A||_2 \geq \rho \)

Wat het erg lastig maakt.

Gebruik bovenstaande en kies dan gewoon voor je matrix X de identiteitsmatrix? Of zeg ik nu iets raars .

[flamey]

Kleine toevoeging. Volgens mij klopt het bovenstaande alleen als A gelijk is aan zijn hermitisch geconjugeerde.

Dan heb je immers

\( ||A||_2=\rho \)

. Dus is er nog geen gelijkheid aangetoond, denk ik.

[dirkwb]

Überhaupt is de X-matrix voorgesteld door jouw docent fout, want met die matrix kan er nooit gelijkheid ontstaan.

[flamey]

Ik denk niet dat die het fout heeft. Het hangt van je matrix A af, welke matrix X je moet nemen. Als je matrix A diagonaliseerbaar is en hermitisch dan gebruik je X gelijk aan de identiteitsmatrix. Dan kun je gelijkheid krijgen. Is die niet diagonaliseerbaar dan kan je zonder verlies van algemeenheid aannemen dat A al in Jordan normaalvorm staat.

Nergens in je stelling staat dat de matrix X voor alle matrices A hetzelfde is? Dit kan je al zien aan het feit dat niet elke complexe matrix A dezelfde Jordan normaalvorm hebben. Dit hangt namelijk af van de spectrale eigenschappen van de matrix en dus heb je vrijheid in je keuze van X.

Sowieso moet je in jouw geval voor gelijkheid ook hebben dat epsilon groter of gelijk dan nul is. Anders kan volgens mij je stelling nooit bewezen worden.

[dirkwb]

Sowieso moet je in jouw geval voor gelijkheid ook hebben dat epsilon groter of gelijk dan nul is. Anders kan volgens mij je stelling nooit bewezen worden.

Dit is het probleem we weten beide niet of dat zo is. Nergens staat in de vraag dat het om meerdere matrices X gaat, we zoeken dus echt maar eentje.

[flamey]

Als ik de stelling letterlijk lees staat er:

"voor alle complexe n x n matrices A bestaat er een inverteerbare matrix X zodanig dat...."

Uit bovenstaande zin volgt al dat matrix X niet uniek is (anders moet dit expliciet vermeld staan). Het voldoet dus als je er maar ééntje vindt. Echter je moet voor elke willekeurige matrix A een dergelijke matrix X kunnen vinden. Dit is aangetoond.

'Alle matrices A' zijn hierbij onderverdeeld in diagonaliseerbare matrices en niet-diagonaliseerbare matrices. In het eerste geval kun je zelfs gelijkheid krijgen. Ik denk eerlijk gezegd dat er geen probleem is...