Limit van (ln(x)/x) in 0

[Narcose]

Hallo,

Ik ben op zoek naar de limiet van (ln(x)/x) in 0. Gevoelsmatig denk ik dat deze -inf is maar ik geraak er maar niet uit om dit te bewijzen

lim x->0 (ln(x)/x) = -inf/0 => mag niet

Daar ook bijde functies een verschillende waarde geven neem ik aan dat ik geen hopital mag gebruiken. Iemand die me in de juiste richting kan duwen?

[Rogier]

Wat is het criterium om te kunnen zeggen dat de limiet van iets - is?

Overigens bedoel je

\(\lim_{x\downarrow 0} \frac{\log(x)}{x}\)

neem ik aan? (let op de

\(x\downarrow 0\)

ipv

\(x\rightarrow 0\)

)

[Narcose]

inderdaad als je met log het natuurlijk logaritme bedoeld (grondtal e)

ik heb in tussentijd de tekentabel gemaakt van de functie en ik zie dat ze heel de tijd stijgt en negatief is tot 1 (zoals je zegt voor x<=0 is ze natuurlijk niet gedefinieerd). Dat doet me vermoeden dat de functie dus naar -inf gaat.

[Rogier]

Je vermoeden is juist. Maar hoe bewijs je dat vervolgens?

Kijk nog eens naar de officiële betekenis:

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty\)

als f(x) willekeurig klein wordt naarmate x dichterbij a ligt.

Meer formeel: als er voor ieder reëel getal C een

\(\epsilon>0\)

bestaat zodat f(x)<C

\(\forall x: |x-a|<\epsilon\)

.

[Safe]

Ik ben op zoek naar de limiet van (ln(x)/x) in 0.

Wat weet je van:

\(\lim_{x\rightarrow 0+} \ln(x)\)

en

\(\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{1}{x}\)

Bekijk eens bv x=e^-10.

Welke van de twee wint?

Kan je dat nu ook bewijzen?

[Narcose]

Wat weet je van:

\(\lim_{x\rightarrow 0+} \ln(x)\)

en

\(\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{1}{x}\)

Bekijk eens bv x=e^-10.

Welke van de twee wint?

Kan je dat nu ook bewijzen?

wel als ik ln(x) afleid dan krijg 1/x

als ik 1/x afleid krijg ik -1/x^2

Dit wil zeggen dat ln(x) tussen 0 en 1 wel stijgt (want de afgeleide is daar positief).

Bij 1/x is de afgeleide negatief dus wil dit zeggen dat dat de waarde afneemt in dit punt.

Dit kan ik echter ook van de grafieken aflezen als ik ze plot. Wat mij lijkt is dat 1/x vlugger in deze waarde verandert dan ln(x) in dit interval.

In elk geval als e^-10 uitreken voor alle functies

ln e^-10 = -10

1/x = 1/e^-10 = 22026.46579480671652

ln(e^-10)/(e^-10) = -220264.65794806716517

ln(x) zorgt voor de negativiteit, maar 1/x zorgt voor de vluggere daling ... intreseting maar nog altijd niet door wat ik hier mee kan bewijzen

[Rogier]

maar nog altijd niet door wat ik hier mee kan bewijzen

Kijk nog eens naar de definitie van een limiet naar - (met zo'n willekeurig getal C en een

\(\epsilon\)

enzo).

Hier een begin: voor alle 0<x<1 geldt: log(x)<0 en (1/x)>1, dus log(x)/x < log(x).

Dus als log(x) < C, dan geldt in ieder geval ook log(x)/x < C... Kun je daar mee verder?

[Narcose]

thanks for the input, ik begrijp wat je zegt dat in dit segment ]0,1[ de nieuwe functie altijd kleiner is dan de orginele. In dit geval is het dus ook logisch dat als je BV C -inf kiest de nieuwe functie dus kleiner dan -inf zal (of dat ze ook -inf) zal zijn. Dat is een logische redenering. Ik geraak nog echter nog altijd niet op een "wiskundige" manier aan deze oplossing

[Rogier]

In de limiet-definitie is C is een reëel getal, - is dat niet. Dus C kan niet - zijn.

Wat betreft de wiskundige manier, weet je hoe je bewijst dat

\(\lim_{x\downarrow 0}\log(x)=-\infty\)

?

Of bijvoorbeeld

\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{1}{x}=\infty\)

?

[Narcose]

In de limiet-definitie is C is een reëel getal, - is dat niet. Dus C kan niet - zijn.

Wat betreft de wiskundige manier, weet je hoe je bewijst dat

\(\lim_{x\downarrow 0}\log(x)=-\infty\)

?

Of bijvoorbeeld

\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{1}{x}=\infty\)

?

van log weet ik gewoon dat dit zo is (redelijk gekende functie), van 1/x, als je 1/inf is dit 0 (of anders, graad van noemer is groter dan graad van teller). Echt bewijzen kan ik dit inderdaad ook niet. Dat is een beetje het probleem dat ik heb. Buiten l'hopital (hier niet bruikbaar), ln over limiet gebruiken en dan het resultaat naar e^L gaan (ook niet gelukt), complex toegevoegde (ook niet echt toepassbaar) en x uit het plaatje halen vind ik nergens echt goede technieken voor limieten te berekenen. Ik zou nog kunnen denken aan misschien een tekentabel of dergelijke

[Rogier]

van log weet ik gewoon dat dit zo is (redelijk gekende functie), van 1/x, als je 1/inf is dit 0 (of anders, graad van noemer is groter dan graad van teller). Echt bewijzen kan ik dit inderdaad ook niet. Dat is een beetje het probleem dat ik heb. Buiten l'hopital (hier niet bruikbaar), ln over limiet gebruiken en dan het resultaat naar e^L gaan (ook niet gelukt), complex toegevoegde (ook niet echt toepassbaar) en x uit het plaatje halen vind ik nergens echt goede technieken voor limieten te berekenen. Ik zou nog kunnen denken aan misschien een tekentabel of dergelijke

Wat voor opleidingsniveau doe je? Bijvoorbeeld op de middelbare school hoef je waarschijnlijk geen officiële wiskundige definitie of bewijs van een limiet te gebruiken.

Daar kun je volstaan met: log(x)/x < log(x) voor 0<x<1 (want log(x)<0 en 1/x>1) en die rechter functie gaat naar - voor x naar 0, dus de linker ook.