Bewijs van een limiet met een constante 2

[extremefun1]

Dit is het uitleg van een bewijs van een limit met een constante.



Zie het rood omlijnde gedeelte.

"To make sure that both of these inequalities are satisfied, we take to be the smaller of

the two numbers 1 and e/7"

Er zit me hier iets al een tijdje iets dwars.

Waarom kiezen ze e/7 op het einde als de kleinere?

e/7<1 als e<7.

Maar je weet de waarde van e niet. e kan net zo goed groter zijn dan 7.

Dus nogmaals, waarom kiezen ze e/7 op het einde als de kleinere?

[TD]

Ze kiezen die niet als 'de kleinere', je weet immers (inderdaad) niet welke de kleinste is. Maar als je weet wel dat |x-3| door jouw keuze zowel kleiner dan 1, als kleiner dan e/7 is. Die |x-3| vervangen door eender welke bovengrens (1 of e/7) naar keuze, maakt de uitdrukking groter. Merk trouwens op dat ze in die overgang óók gebruikmaken van het feit dat |x-3|<1, want daardoor vervangen ze de eerste factor (nl. |x+3|) door 7.

[extremefun1]

Ze kiezen die niet als 'de kleinere', je weet immers (inderdaad) niet welke de kleinste is. Maar als je weet wel dat |x-3| door jouw keuze zowel kleiner dan 1, als kleiner dan e/7 is. Die |x-3| vervangen door eender welke bovengrens (1 of e/7) naar keuze, maakt de uitdrukking groter. Merk trouwens op dat ze in die overgang óók gebruikmaken van het feit dat |x-3|<1, want daardoor vervangen ze de eerste factor (nl. |x+3|) door 7.

Ik heb de laatste regel van het bewijs uit het boek een beetje herschreven als een soort conclusie om te kijken of ik het goed begrijp.

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . 1 = 7 (voor e=7 bestaat er een delta=1 -> |x²-9| < 7 wanneer |x-3| < 1)

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . e/7 = e (voor elke e bestaat er een delta (e/7), zodat zodat |x²-9| < e wanneer |x-3| < delta)

Is dit correct geformuleerd?

[TD]

Ik begrijp niet goed wat je hiermee bedoelt...

[extremefun1]

Mijn vorige post ging over deze regel uit het boek. Volgens mij de laatste regel.

Vergeet de vorige post. Dit is dezelfde post met wat meer uitleg.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Even overgetyped, zodat je beter kan vergelijken met mijn eigengetypte deel:

1.) |x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . e/7 = e

Hier deel ik precies datzelfde stukje even in kleinere stapjes op om het beter te begrijpen:

2.) |x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . e/7 = e

Uit 1 en 2 zijn beiden hetzelfde en uit beiden kun je afleiden dat: |x²-9| < e.

In 2. heb ik gewoon de tussen stapjes niet weggelaten (wat ze denk ik wel in het boek (1.) gedaan hebben) om voor mezelf beter te begrijpen wat ze bij die laatste regel precies doen.

Voor als je het nog niet snapt is dit mijn redenatie bij nummer 2:

Dit is als het ware mijn eigen gemaakte samenvatting van het bewijs uit het boek.

|x²-9| = |x+3| |x-3| (logisch)

Je nam |x+3| |x-3| < C . |x-3|

Je zoekt de C op en kwam op 7 als een goeie keuze, dus |x+3| |x-3| < 7 . |x-3|

De delta's die je zelf koos en vond waren 1 en e/7.

Je kiest e/7.

Dus |x-3| < e/7, dus 7 . |x-3| < 7 . |x-3|

en natuurlijk 7 . e/7 = e

Voeg je de onderstreepte gedeelten samen krijg je:

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . e/7 = e

Het enige dat ik wilde weten is of deze regel met de tussenstappen gewoon correct was.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . 1 = 7

Ik doe hier precies hetzelfde als in het vorige voorbeeld. Alleen gebruik ik die andere delta van min{1,e/7}, namelijk de 1. Ik wilde zien wat er precies gebeurd als ik in plaats van die e/7 de 1 invulde

Het enige wat ik hiermee bewees was dat er voor delta=1 er een e =7 bestaat. Dus daar hebt je niks aan als je wilt bewijzen dat er voor elke e>0 dat een delta>0 bestaat zodat |f(x)-L| < e als |x-a|< delta

[Siron]

Mijn vorige post ging over deze regel uit het boek. Volgens mij de laatste regel.

Vergeet de vorige post. Dit is dezelfde post met wat meer uitleg.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Even overgetyped, zodat je beter kan vergelijken met mijn eigengetypte deel:

1.) |x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . e/7 = e

Hier deel ik precies datzelfde stukje even in kleinere stapjes op om het beter te begrijpen:

2.) |x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . e/7 = e

Uit 1 en 2 zijn beiden hetzelfde en uit beiden kun je afleiden dat: |x²-9| < e.

In 2. heb ik gewoon de tussen stapjes niet weggelaten (wat ze denk ik wel in het boek (1.) gedaan hebben) om voor mezelf beter te begrijpen wat ze bij die laatste regel precies doen.

Voor als je het nog niet snapt is dit mijn redenatie bij nummer 2:

Dit is als het ware mijn eigen gemaakte samenvatting van het bewijs uit het boek.

|x²-9| = |x+3| |x-3| (logisch)

Je nam |x+3| |x-3| < C . |x-3|

Je zoekt de C op en kwam op 7 als een goeie keuze, dus |x+3| |x-3| < 7 . |x-3|

De delta's die je zelf koos en vond waren 1 en e/7.

Je kiest e/7.

Dus |x-3| < e/7, dus 7 . |x-3| < 7 . |x-3|

en natuurlijk 7 . e/7 = e

Voeg je de onderstreepte gedeelten samen krijg je:

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . e/7 = e

Het enige dat ik wilde weten is of deze regel met de tussenstappen gewoon correct was.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

|x²-9| = |x+3| |x-3| < 7 . |x-3| < 7 . 1 = 7

Ik doe hier precies hetzelfde als in het vorige voorbeeld. Alleen gebruik ik die andere delta van min{1,e/7}, namelijk de 1. Ik wilde zien wat er precies gebeurd als ik in plaats van die e/7 de 1 invulde

Het enige wat ik hiermee bewees was dat er voor delta=1 er een e =7 bestaat. Dus daar hebt je niks aan als je wilt bewijzen dat er voor elke e>0 dat een delta>0 bestaat zodat |f(x)-L| < e als |x-a|< delta

Ik denk dat ik ongeveer begrijp wat je bedoelt. De auteur maakt de keuze om (x-3)<1 te nemen (de (...) moeten absolute waarde tekens voorstellen, maar die kan ik niet plaatsen met deze pc). Je maakt daar de fout door ze gewoon te verwisselen.

Je hebt een min(1,e/7). De auteur maakt de keuze als:

(x-3)<1, dus -1<x-3<1 <-> 2<x<4. We tellen in elk lid +3 bij: 5<x<7. We hebben nu nog de andere voorwaarde dat (x-3)<e/7, dus:

(x-3).(x+3)<e/7.7=e

U bedoelt volgens mij, als we nu starten met de keuze:

(x-3)<e/7 dan volgt daar niet uit dat (x+3)<7. Dat was alleen wanneer (x-3)<1. Probeer op dezelfde manier van (x-3)<e/7 eens (x+3)<.... te zoeken. Je hebt dan nog de voorwaarde (x-3)<1, om af te sluiten.