Verschil tussen lim (f+g)(x) en lim [f(x)+g(x)]

[extremefun1]

Kijk naar het rood omlijnde gedeeltje.

In dit voorbeeld is lim(f+g)(x) = lim [f(x)+g(x)], maar dat is niet altijd het geval volgens het voorbeeld.

Op het eerste gezicht dacht ik dat lim (f+g)(x) en lim [f(x)+g(x)] gewoon verschillende notaties waren van hetzelfde wet.

Ik weet wat lim [f(x)+g(x)] betekend, maar wat betekend lim (f+g)(x)?

En zijn er nog andere notaties voor lim (f+g)(x)?

[317070]

Ik weet wat lim [f(x)+g(x)] betekend, maar wat betekend lim (f+g)(x)?

En zijn er nog andere notaties voor lim (f+g)(x)?

Het verschil is subtiel, maar (f+g) is de functie die je bekomt als je de functie g optelt bij de functie f (=de volledige functie), met als resultaat een nieuwe functie (f+g). Je telt dus een functie op bij een andere functie om een nieuwe functie te bekomen.

Vervolgens evalueer je die nieuwe functie in x. Dus (f+g)(x).

Bij f(x) + g(x) evalueer je eerst de functie f in x, en de functie g in x, waarna je beide reële getallen optelt, met als resultaat een nieuw reëel getal.

Zoals je ziet, niet helemaal hetzelfde. Voor de optelling maakt het onderscheidt bij de reële getallen niet veel uit, lijkt me. Maar dat is dus niet altijd zo, bij andere operatoren of getallenverzamelingen.

[extremefun1]

Zoals je ziet, niet helemaal hetzelfde. Voor de optelling maakt het onderscheidt bij de reële getallen niet veel uit, lijkt me. Maar dat is dus niet altijd zo, bij andere operatoren of getallenverzamelingen.

Het lijkt me ook niet met reeele getallen, maar waarom mogen ze het rood omlijnd gedeelte dan toch aan elkaar gelijk stellen?

[extremefun1]

Ik heb even wat stappen toegevoegd die ze denk weglaten, omdat het voor de hand ligt. Zo snap ik iets beter hoe ze het het rode gedeelte afleiden. Kloppen de stappen zo?



Dat bewijs uit het boek is geen bewijs, maar een definitie lees ik net. Hier staat hij.

[Siron]

Ik heb even wat stappen toegevoegd die ze denk weglaten, omdat het voor de hand ligt. Zo snap ik iets beter hoe ze het het rode gedeelte afleiden. Kloppen de stappen zo?



Dat bewijs uit het boek is geen bewijs, maar een definitie lees ik net. Hier staat hij.

Ben je er nu uit? Of ...

Je hebt een blad ingevoerd waarbij staat: (f+g)(x) = f(x)+g(x). Als je dit weet dan volgt daar direct uit wat in de rode kader staat (limiet van een som = som van de limieten van de afzonderlijke termen).

[extremefun1]

Dit is mijn denkproces stap voor stap van boven naar beneden.

1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1e stuk uit het boek

lim f(x) = f(a) en lim g(x) = f(b)

2. -------------------------------------------------------------------------------

lim f(x) + lim g(x) = f(a) + g(a) (Afgeleid uit het bovenstaandel)

f(a) + g(a) = (f+g)(a) (definitie die in het boek staat)

Ook gebruik ik dan:

lim f(x) + lim g(x) = lim [f(x) + g(x)]

3. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zo kom ik tot:

lim (f + g)(x) = lim [f(x) + g(x)]

lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x)

lim (f + g)(x) = f(a) + g(a)

lim (f + g)(x) = (f+g)(a)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

In het boek voorbeeld springen ze ineens van 1 naar 3

Dat toegevoegde stuk van mij 2 is de volgens mij de enige logische manier om van 1 tot het begin van 3 te komen.

Klopt die stap 2 wel?

Anders snap ik niet hoe ze van 1 naar 3 ineens gaan.

[WernerP]

lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Dit is dus de cruciale stap en die is niet altijd geldig. Een voorwaarde die strikt moet voldaan zijn is dat de limieten =lim f(x) en lim g(x) allebei moeten bestaan en niet oneindig mogen zijn. In elk van de andere gevallen kan je redelijk makkelijk tegenvoorbeelden vinden. Het bewijs dat het anders waar is vind je door de definities van de limieten voor

\(\epsilon/2\)

uit te schrijven en de beide dan op te tellen. Als er interesse is voor een detailbewijs post dan hier een berichtje en dan zal ik dit wel eens uitschrijven.

Mvg,

[extremefun1]

Het kwartje is gevallen. Bedankt voor jullie antwoorden. Ik snap het

[extremefun1]

Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.

Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Ik ben in de voorgaande bladzijden geen limiet wetten en/of definities tegengekomen waarin dit staat.

f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

Kwam ik wel tegen.

Hoe komen ze hieraan?

[extremefun1]

..

[TD]

Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.

Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Dit geldt alleen op voorwaarde dat die twee afzonderlijke limieten in het rechterlid bestaan, zoals eerder al werd aangehaald.

f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

Kwam ik wel tegen.

Hoe komen ze hieraan?

Hier staat gewoon twee keer hetzelfde, of bedoelde je iets anders...?

[extremefun1]

Sorry een paar kleine foutjes gemaakt:

Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.

Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [(f+g)(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Ik ben in de voorgaande bladzijden geen limiet wetten en/of definities tegengekomen waarin dit staat.

Ook staat het nergens bewezen in de voorafgaande pagina's in het boek.

(f+g)(x) = f(x) + g(x) Kwam ik wel tegen, maar ik denk niet dat je er zomaar een lim voor kan zetten zodat je dit krijgt :

lim [(f+g)(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Hoe komen ze hieraan?

[TD]

Wat bedoel je precies, want anders vrees ik dat ik verder in herhaling ga vallen met de uitleg die hier eerder al gegeven werd...

Toch kort: die 'f+g' moet je zien als een nieuwe functie die x afbeeldt op f(x)+g(x). De limiet ervan nemen is dus niets anders dan lim[ (f+g)(x) ] = lim[ f(x) + g(x) ] waar je dus de limiet van de som van beide voorschriften neemt. Dit is slechts gelijk aan lim[ f(x) ] + lim[ g(x) ], dus de som van beide limieten (zie je het verschil?), indien die laatste twee afzonderlijke limieten ook bestaan. Dat is niet altijd het geval.

[Math-E-Mad-X]

edit: ik had hier een reactie geplaatst, maar had je bericht verkeerd gelezen.

[extremefun1]

Sorry ik had weer een leesfout gemaakt ik snap het nu helemaal.

Erg bedankt voor jullie hulp