Extra oefeningen goniometrie

[HosteMaxime]

Omdat ik niet al te goede punten haal voor wiskunde (zeker het deel goniometrie), heeft mijn broer mij aangeraden om extra oefeningen te maken en deze dan hier te posten ter controle.

Ik zou het ten zeerste appriciëren moest iemand deze oefeningen controleren en mij kunnen vertellen waar mijn fouten liggen.

Oefening 1:

Toon aan: tan(Π/4) - sin²(Π-a) = cos²(a)

tan(Π/4) - sin²(Π - a) = 1 - sin²(a) = cos²(a)

Oefening 2:

Los de vergelijking op naar x. Druk de oplossing(en) uit in radialen: cot(2a) = 1/6

cot(2a) = 1/6

2a = cot^-1(1/6) + kΠ

2a = 8.380 + kΠ

a = 4.190 + (kΠ)/2

Oefening 3:

Los de vergelijking op naar x: tan[(-x/3)-40°] = tan(45°)

tan[(-x/3) - 40°] = tan(45°)

tan[(-x/3) - 40°] = 1

(-x/3) - 40° = 45° + k180°

(-x/3) = 85° + k180°

x = -255° + k540

Oefening 4:

Los de vergelijking op naar x: -cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

-cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

-cos[4x - (Π/2)] = cos(2x)

-4x + (Π/2) = 2x

6x = (Π/2) + k2Π

x = (Π/12) + (kΠ/3)

of

cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

cos[4x - (Π/2)] = cos(2x)

4x - (Π/2) = 2x

2x = (Π/2) + k2Π

x = (Π/4) + kΠ

Oefening 5:

Bepaal het domein, het bereik en de periode van de volgende functie: f(x) = 5tan[(-4x/7) + (2Π/7)] + 1

f(x) = 5tan[(-4x/7) + (2Π/7)] + 1

f(x) = 5tan[(-4/7)(x - (Π/14)) + 1

Dom: R\{(-2Π/7) - (k7Π/4)}

Ber: R

Periode: (7Π/4)

Oefening 6:

Bij een volwassene in rust pompt het hart bloed in de grote bloedsomloop. De bloedstroomsnelheid kan benaderd worden door het positieve deel van de sinusoïde.

a₁ = [plusmin]250

periode = 1

b₁ = 2Π

c = 0

d = 0

Bij inspanning verdubbelt de frequentie van de cuclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot. Bij welke van de volgende sinusoïden is het positieve deel de beste benadering van de bloedstroomsnelheid bij inspanning?

A) 1000sin(2Πt)

B) 1000sin(4Πt)

C) 1000sin(8Πt)

D) 2000sin(Πt)

Volgens mij is het antwoord B sinds b₂ = 2b₁ en a₂ = 4a₁

Alvast bedankt

Maxime Hoste

[Siron]

Oefening 1:

Je moet je bewijs nog wat vervolledigen, want zo vind ik het moeilijk om er aan uit te kunnen.

Tan(pi/4) - sin^2(pi-a) = cos^2(a)

Als we nu dit doen:

Tan(pi/4) = cos^2(a) + sin^2(pi-a)

Dit zou je normaal gezien moeten doen denken aan de grondformule van de goniometrie. Je weet dat sin(pi-a)=sin(a).

Dus: Tan(pi/4) = cos^2(a)+sin^2(a) <-> Tan(pi/4) = 1. Dit moest bewezen worden.

Oefening 2:

Je neemt de Bgcot(1/6), op mijn GRM komt te staan: Bgcot(1/6)= 6,055 ... .

Oefening 3 lijkt me goed.

Als je een controle wilt kan je altijd één van je oplossingen terug invullen in de opgave en kijken of het L.L = R.L

Oefening 5.

Hoe heb je het domein bepaalt? Ik denk dat je dat nog eens moet nazien. Vul eens een waarde in die je hebt uitgesloten en kijk of er math error komt (op GRM). Ik veronderstel dat je om het domein te bepalen gezegd hebt: 5Tan(...) +1. Hetgene tussen de haakjes (...) mag niet gelijk zijn aan pi/2 + kpi en dan gezocht met welke x-waarde dat overeenkomt.

Kan je voor de periode en het domein je berekening nog eens laten zien.

Dat is gemakkelijker om na te kijken.

[Safe]

Oef 4 en 5 zijn fout.

Het is beter één oef tegelijk aan te bieden.

Als je twee verschillende opl van een oef geeft i één van beide of beide fout. Controleer je opl. Weet je hoe je dat moet doen?

[HosteMaxime]

Oefening 2:

Omdat er geen cotangensknop op mijn GRM staat, had ik hem op een andere manier moeten bereken. Daar heb ik echter een foutje in gemaakt.

Verbetering:

cot(2x) = 1/6

2x = 6.055 + kpi

x = 3.028 + (kpi/2)

Oefening 5:

Hier heb ik ook achteraf een paar rekenfoutjes gezien.

Verbetering:

Domein bereken:

(-4x/7) + (2pi/7) = (pi/2) + kpi

(-4x/7) = (3pi/14) + kpi

-4x = (21pi/14) + k7pi

x = (-3pi/8) - (k7pi/4)

Periode berekenen:

periode = pi/|b|

periode = pi/(4/7)

periode = 7pi/4

[HosteMaxime]

Oef 4 en 5 zijn fout.

Het is beter één oef tegelijk aan te bieden.

Als je twee verschillende opl van een oef geeft i één van beide of beide fout. Controleer je opl. Weet je hoe je dat moet doen?

Bij oefening 4 zijn er ook twee mogelijke oplossingen.

Normaal moet je als oplossing x = -(Π/12) + (kΠ/3) of x = -(Π/4) + kΠ moeten uitkomen. Ik weet echter niet waar ik een rekenfoutje heb gemaakt. Ik weet hoe ik dit soort oefeningen moet maken, alleen kom ik hier (net) niet de juiste uitkomst uit.

[Siron]

Oefening 5 lijkt me nu wel te kloppen.

Oefening 4:

pi/4 is wel degelijk één van de oneindig veel oplossingen. Dit kan je controleren door pi/4 in te vullen of. Je zegt dat in de oplossingen staat als algemene oplossing:

x=-pi/12 + kpi/3

Hierbij is k een geheel getal. Stel nu k=1 -> x=-pi/12 +pi/3 <-> x=pi/4

Het is niet omdat je oplossing niet helemaal overeenkomt met de oplossingen dat het meteen fout is, immers heb je er oneindig veel.

[HosteDenis]

Toon aan: tan(Π/4) - sin²(Π-a) = cos²(a)

tan(Π/4) - sin²(Π - a) = 1 - sin²(a) = cos²(a)

Je oefening is juist, maar je schrijft je bewijs inderdaad wat raar op. Als je met het bovenstaande bedoeld dat

\(\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin ^2 (\pi - \alpha) = 1 - \sin ^2 (\pi - \alpha) = \cos ^2 (\pi - \alpha) = \cos ^2 ( \alpha)\)

. Dit kan je tijdens je test altijd controleren als je je GRM mag gebruiken.

Wordt de uitstroomsnelheid vier keer zo groot, dan heb je inderdaad een verandering van amplitude.

\(a_2 = 4a_1 = 250 \cdot 4 = 1000\)

Dit heb je correct.

Als de frequentie verdubbelt (groter wordt), gaat je hart sneller slaan. De tijd tussen opeenvolgende slagen wordt kleiner. De periode wordt dus kleiner, want de periode is de tijd tussen twee gelijke punten op je sinusoïde. We vinden dus:

\(p_2 = \frac{1}{2}p_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)

Voor de waarde van b vinden we dan:

\(b_2 = \frac{2 \cdot \pi}{p_2} = 4 \pi\)

De waarde van b verdubbelt inderdaad, ook dat heb je juist. Het antwoord is dus volgens mij ook B.

Laat weten als je nog vragen hebt of als je iets niet snapt. Je mag gerust hier nog posten (zolang het over goniometrie blijft gaan). Bij vraag 2 vind ik het wel bizar dat ik iets anders uitkom dan jij en de andere forumleden. Misschien ligt het wel aan mijn rekenmachine, maar reken het misschien best toch maar even na. Oefening 5 kijk ik mogelijks morgen naar.

Wat zeggen de antwoorden achteraan je boek? Van deze oefeningen? Of staan er geen antwoorden bij deze oefeningen?

Denis

[HosteDenis]

Los de vergelijking op naar x: -cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

-cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

-cos[4x - (Π/2)] = cos(2x)

-4x + (Π/2) = 2x

6x = (Π/2) + k2Π

x = (Π/12) + (kΠ/3)

of

cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

cos[4x - (Π/2)] = cos(2x)

4x - (Π/2) = 2x

2x = (Π/2) + k2Π

x = (Π/4) + kΠ

Ik zei het volgende:

We hebben dus:

\(-\cos \left[4x - \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \sin \left[\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2x \right]\)

Linker- en rechterlid omzetten naar een cosinusfunctie, dit deed je correct:

\(-\cos \left[4x - \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \cos (2x)\)

De cosinussen laten wegvallen, dit deed je niet correct. Links staat namelijk een NEGATIEVE cosinus, rechts een POSITIEVE. Onthoudt dit goed, want je moet ze altijd eerst beide positief maken. De cosinus van teken doen veranderen gebeurd door bij het argument 180° op te tellen (of af te trekken). Dit kan je gemakkelijk zien als je een goniometrische cirkel tekent. Snap je wat ik zeg? Dat wordt dan bij optellen:

\(\cos \left[4x + \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \cos (2x)\)

Wat ik doe is niet fout, maar wat jij doet ook niet. Ik zag niet meteen wat je deed.

Een negatieve cosinus kan je OOK omzetten in een positieve door bvb: -cos(a) = cos(180°-a)

Als je dit deed, dan deed je het juist, maar je teken voor (Π/2) moet een min zijn.

In jouw geval heb je -cos[4x - (Π/2)] = cos[Π - 4x + (Π/2)] = cos[3Π/2 - 4x] = cos[ - 4x - (Π/2)]

Dan krijg je:

-cos[4x - (Π/2)] = sin[(Π/2) - 2x]

-cos[4x - (Π/2)] = cos(2x)

-4x - (Π/2) = 2x

6x = - (Π/2) + k2Π

x = - (Π/12) + (kΠ/3)

En zo krijg je de oplossing van je boek...

Denis

EDIT

als je trouwens mijn

\(\cos \left[4x + \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \cos (2x)\)

uit mijn post hierboven verder uitwerkt, krijg je

4x + (Π/2) = 2x

2x = - (Π/2) + k2Π

x = - (Π/4) + kΠ

en dat is de andere oplossing die in je boek staat, niet?

[Siron]

@ Hoste_Denis:

Oefening 2: Jouw antwoord klopt inderdaad, ik had iets fout gedaan op mijn GRM.

Dus goed dat je dit verbetert .

[HosteMaxime]

Ik heb enkel de oefeningen waarvan het antwoord niet vanachter in het boek stonden of de oefeningen die ik fout had gepost.

Trouwens, Thierens heeft vandaag met mij nog eens deze oefeningen overlopen en mij aangetoond waar mijn fouten lagen. Hij heeft achteraf dan nog een paar oefeningen opgesteld en die had ik dan wel juist. Hij zei ook dat ik genoeg voorbereid was voor nu woensdag. Laten we hopen...

De cot(2x) = 1/6 is dus toch tan(2x) = 6 (zoals jij zei).

Bedankt voor alle hulp!

Maxime

[In physics I trust]

I

De cot(2x) = 1/6 is dus toch tan(2x) = 6 (zoals jij zei).

Inderdaad; dat volgt uit de definitie, cot(x)=cos(x)/sin(x) en tan(x)=sin(x)/cos(x).

Verwarring ontstaat vaak met de rekenmachinetoets ^-1 omdat die op de inverse bedoelt (de boog-functies).