Rennende honden

[janamdo]

zijn er nog forumleden die het bewijsidee hier begrijpen?

[janamdo]

Prima, maar begin dan niet over 'waarom moeilijk doen als het makkelijk kan'.

Wie zegt dat jou methode gemakkelijker is dan die hierboven word getoond?

[EvilBro]

Werk beide methodes eens uit en bekijk dan welke je makkelijker vond...

[janamdo]

Werk beide methodes eens uit en bekijk dan welke je makkelijker vond...

Haha..dat is nu net het punt

Ik probeer het opstellen van een 1e orde DV middels poolcoordinaten te begrijpen

Die dx en dy driehoek die ik ken van het differentieren die word vervangen door die pooldriehoek

Wat dit betekent voor het limeitgeval ?

Ik heb geen kennis in het opstellen van een DV orde 2 en wanneer deze kan worden toegepast/optreed

Wanneer treed er nu een DV orde 2 op ?

[EvilBro]

Wanneer treed er nu een DV orde 2 op ?

\(\frac{dx}{dt} = -y - x \rightarrow y = -\frac{dx}{dt} - x\)

afgeleide:

\(\frac{dy}{dt} = -\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt}\)

invullen in:

\(\frac{dy}{dt} = x - y\)

\(-\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} = x - ( -\frac{dx}{dt} - x)\)

\(\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \frac{dx}{dt} + 2 x = 0\)

[janamdo]

Het is inderaad sneller jouw methode dan het eerst opstellen van een pooldriehoek waaruit de DV word opgesteld

Het begon eerste met 1 hond en werd later wel gegeneraliseerd en dat is ook manier die misschien meer inzicht geeft in de baan omdat je met Maple wat onderzoek kan doen

[WernerP]

Overigens de volgende interessante observatie:

1/ als je de booglengte berekent welke hond 1 aflegt om hond 2 te bereiken, is die exact gelijk dan de afstand die hond 1 zou moeten afgelegd hebben als hond 2 gewoon was blijven stilstaan.

2/ Het duurt oneindig lang vooraleer de honden elkaar ontmoeten. Als ze namelijk 360 graden hebben gelopen dan staan ze terug in een vierkant t.o.v. elkaar zoals in de uitgangssituatie. De fout die hierbij wordt gemaakt is natuurlijk dat de honden geen "nuldimensionale punten" zijn en na een eindige tijd tegen elkaar op knallen. Om te tonen waar die abstractie fout loopt leg ik hetzelfde probleem in mijn cursus uit met luizen i.p.v. honden, dan denken de studenten sneller dat ze met een "punt" te maken hebben en maken ze de bovenstaande redeneerfout sneller. Waarop ik dan gewoonlijk antwoord "bon, en vervang nu de luizen door olifanten".

[EvilBro]

Overigens de volgende interessante observatie:

1/ als je de booglengte berekent welke hond 1 aflegt om hond 2 te bereiken, is die exact gelijk dan de afstand die hond 1 zou moeten afgelegd hebben als hond 2 gewoon was blijven stilstaan.

2/ Het duurt oneindig lang vooraleer de honden elkaar ontmoeten.

Deze tweede observatie kan niet waar zijn als observatie 1 waar is. Stel dat observatie 1 waar is. De afstand tussen de twee honden is dan dus 2. Kies de snelheid van de hond constant en gelijk aan v. Voor de tijd geldt dan: t = 2/v.

[Lucas N]

1/ als je de booglengte berekent welke hond 1 aflegt om hond 2 te bereiken, is die exact gelijk dan de afstand die hond 1 zou moeten afgelegd hebben als hond 2 gewoon was blijven stilstaan.

2/ Het duurt oneindig lang vooraleer de honden elkaar ontmoeten.

Observatie 1/ is m.i. waar voor n=4 honden, omdat hond B dan steeds een snelheid heeft die loodrecht staat op die van hond A en dus niet weg-beweegt van A.

Voor meer honden gaat dit mij niet op.

[janamdo]

De bedenker van de opgave schrijft nog het volgende ( voor 4 honden op een hoekpunt)

# Net als bij opg. 84( vlieg ) kan je ook de door elke hond afgelegde weg

# berekenen.

# Doe dat!

#

# Resultaat: De totale baan heeft lengte 2.

#

# Verrassend:

# In de uitgangssituatie stond hond A op (1,1) en hond B op (-1,1)

# Hond A moest dus een afstand 2 lopen om B te bereiken.

# Nu ze allemaal elkaar achterna zitten blijkt die afstand onveranderd

# te zijn!

#

#

# Bij beter nadenken echter blijkt dat helemaal niet zo verrassend:

#

# Hond B beweegt zich steeds loodrecht op de looprichting van A.

# Die beweging bevat dus geen enkele component in de looprichting van

# A, en heeft derhalve geen invlod op hun onderlinge afstand!!

---------------------------------------------------------------------------------

Helaas is het mij nog niet duidelijk,maar moet dit in Maple "zien"

--------------------------------------------------------------------------------

Voor de generalisatie n honden schrijft de bedenker

# Opmerking:

# In het geval van de 4 honden hebben we gezien (zie opg. 86), dat de

# uiteindelijke baan precies de zijde van het vierkant was, omdat de

# beweging van de tweede hond geen component in de looprichting van de

# eerste had.

#

# Naarmate we n groter nemen, komen de honden in de aanvangssituatie

# steeds dichter bij elkaar, maar heeft de beweging van de tweede hond

# wel degelijk een component in de bewegingsrichting van de eerste hond.

#

# De uiteindelijk baan wordt hierdoor voor elkehond steeds groter.

# In de plaatjes bij e) kan je ook duidelijk zien, dat ze nu na een

# rondje nog lang niet bij het middelpunt zijn.

#

# In het limietgeval van de cirkel worden de banen zelfs oneindig lang,

# want dan blijven de honden op de cirkel achter elkaar aan draaien!

[WernerP]

Deze tweede observatie kan niet waar zijn als observatie 1 waar is. Stel dat observatie 1 waar is. De afstand tussen de twee honden is dan dus 2. Kies de snelheid van de hond constant en gelijk aan v. Voor de tijd geldt dan: t = 2/v.

Euh, wie zegt dat v = cte?

[EvilBro]

Euh, wie zegt dat v = cte?

cte = constante? Mocht je dit bedoelen: wie zegt dat v geen constante is? Ofwel, waarom veronderstel je dat geldt:

\(\int_0^\infty v(t) dt \leq 2\)

Dat volgt uit helemaal niets in het vraagstuk...

[janamdo]

De bedenker van het 4 hondenprobleem heefthet probleem op 3 manieren bekeken en daar afzonderlijk vragen op opgesteld

- 4 honden probleem opstellen DV via dx en dy ..

dy/dx = (y-x)/(x+y)

- 4 honden probleem opstellen DV via poolcoordinaten

- n honden generalisatie opstellen DV via poolcoordinaten

[janamdo]

Toevallig zag ik het boek waaruit de docent de honden achtervolgings baan gehaald heeft

-----------------------------

Leid de DV af m.b.v de regel dat het produkt van de richtingscoefficienten van de raaklijnen aan de banen van hond 4 en hond 1 gelijk is aan -1 ( wegens loodrechte stand)

[Alopex]

Ik weet niet ofdat het antwoord al gegeven is in dit topic maar wij hebben een vergelijkbare oefening (met luizen) gedaan op school met behulp van homogene differentiaalvergelijkingen :

RBH = rechterbovenhoek

LBH = linkerbovenhoek

coördinaten luis RBH : (1 , 1) (0.5 , 0.5) (0 , 0.5) ==> (x , y)

coördinaten luis LBH : (-1 , 1) (-0.5 , 0.5) (0 , 0.5) ==> (-y , x)

Dan stellen we richtingscoëfficient van rechte luis/hond RBH op die tevens dy/dx is.

\(y' = \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}\)

Daarna doen we substitutie y = x.u en gebruiken de regel van homogene differentiaalvergelijkingen.

Daarna zetten we om naar poolcoördinaten en vullen we bijvoorbeeld voor straal = 1 in in de vgl zodat de constante bepaald is.

En op het einde verkrijgen we dan (met straal 1) de baanvergelijking voor luis/hond RBH:

\(1 = e^{-\frac{\pi}{4}}\)

Ik heb nu niet zo veel tijd maar ik wil het bewijs er later nog wel is opzetten als dat gevraagd wordt door de TS.