Puzzels\(${\displaystyle \int\sqrt{(x-4)(x-1)}\,dx}\)
Wat dus gelijk is aan \(${\displaystyle \int\sqrt{x²-5x+4}\,dx}\)
En is ook te schrijven in de vorm van: \(${\displaystyle \int\sqrt{(x-\frac{5}{2})²-(\frac{3}{2})^2}\,dx}\)
Wetende dat:sin²(x) + cos²(x) = 1
=> tan²(x) + 1 = sec²(x)
=> tan²(x) = sec²(x) - 1
Dit laatste trekt veel op mijn opgave, dus pas ik de volgende goniometrische substitutie toe:
Stel:
\(x-\frac{5}{2} = \frac{3}{2*cos(t)}\)
Was dit een goede keuze ?Dan: dx =
\(\frac{3*sin(t)}{2*cos²(t)}dt\)
En dus \(${\displaystyle \int\sqrt{(x-\frac{5}{2})²-(\frac{3}{2})^2}\,dx} = ${\displaystyle \int\sqrt{\frac{9}{4cos²(t)}-\frac{9}{4}}*\frac{3sin(t)}{2cos²(t)}dt}\)
Dan kan ik nog de gemeenschappelijke factor 9/4 buiten de wortelteken brengen, samen met andere constanten plaats ik die voor de integraal
en pas ik de regel van sec²(t) - 1 = tan²(t) toe:
\(${\displaystyle \frac{9}{4}*\int\sqrt{\frac{1}{cos²(t)}-1}*\frac{sin(t)}{cos²(t)}dt} = \frac{9}{4}*\int\frac{sin²(t)}{cos³(t)}dt}\)
En hier loop ik eigenlijk vast.Ik weet wel dat d(tan(x)) = sec²(x)dx, maar dat is hier net niet genoeg.
Ik kan het natuurlijk verder splitsen tot
\(${\displaystyle \frac{9}{4}*\int\frac{dt}{cos³(t)}-\frac{9}{4}*\int\frac{dt}{cos(t)}}\)
De t-formules schijnen ook niet te helpen.--------------------------------------------
Wel is het ons verteld dat als we
\(\sqrt{(x-4)(x-1)}\)
gelijkstellen aan \((x-1)*t\)
dan zouden we het wel moeten vinden, ik probeer het al sinds maandag maar kom eigenlijk niet veel verder dan
\(t= \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} = \sqrt{1 - \frac{3}{x-1}}\)
De moeilijkheid zit er dan in het afleiden van beide leden, waarbij rechterlid 2 veranderlijken heeft. Vandaar dat ik het maar met de goniometrische substitutie probeerde.
Heb ik ergens fout geredeneerd, of zie ik iets niet ?
