Practicum

[DavidK]

Hallo iedereen,

Ik heb een practicum gedaan waarvan ik een verslag moet schrijven over het verband tussen de slingertijd en uitwijkingshoek. Ik heb hier een paar vraagjes over.

1: Uit de formule T=2π√(l/g) maak ik op dat de trillingstijd bij een mathematische slinger onafhankelijk is van de uitwijkingshoek. Het geval bij mijn eigen metingen was, dat des te groter de uitwijking is, des te langer de trillingstijd. Is dit te verklaren door de demping (wrijvingskracht), die de slinger te verduren krijgt, groter wordt naarmate de slinger meer afstand aflegt?

2: Als ik in een grafiekje de (begin)uitwijkingshoek tegen de trillingstijd uitzet, krijg ik een toenemend stijgende grafiek. We hebben gemeten vanaf 5 graden, maar als ik de lijn wil extrapoleren naar 0 graden (waar T=0s geldt) dan krijg ik een hele rare grafiek (zie link hieronder). Hoe kan ik dit oplossen?

()

Alvast bedankt!

[Fred F.]

Mooi hoor, maar wat moet die zwarte lijn voorstellen? Is dat de (mislukte) curvefit van het spreadsheet? Dan doe je daar iets fout.

[Phys]

Een essentieel punt bij de mathematische slinger is het feit dat jouw formule alléén geldt voor kleine hoeken. Dan is de gemaakte benadering

\(\sin\alpha\approx\alpha\)

redelijk. Hoe groter de hoek is waaraan je meet, hoe slechter de formule klopt.

[Jan van de Velde]

Meesatal verwijs ik vanaf natuurkunde.nl naar hier, nu ga ik dat maar eens andersom doen:

http://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/view.d...requestId=13263

Hier hebben we nét zo'n gevalletje besproken...... pi.gif

[DavidK]

Bij zeer kleine uitwijkingshoeken is de tangens van die hoek nagenoeg gelijk aan de sinus ervan. Dat is zeer belangrijk in de afleiding van de beroemde formule T=2π√(l/g). Als de hoek groter wordt wordt het verschil tussen sinus en tangens steeds groter en daarmee de fout in deze standaardformule.

Jan v/d Velde

Hoe is deze formule van tanges en sinus afgeleid?

[Jan van de Velde]

Ik maakte hier een klein foutje, Phys zei het beter:

Er wordt in de afleiding van die formule verondersteld dat bij een kleine uitwijkingshoek sin α ≈ α.

slinger 656 keer bekeken

de uitwijking u van de slinger is in feite de afsand gemeten over de cirkelbaan. Bij kleine uitwijkingen is die nagenoeg gelijk aan de lengte van dat horizontale stippellijntje, waardoor we mogen stellen dat u ≈ l·sin α

De kracht F die de slinger naar zijn evenwichtspunt trekt is evenredig met m·g·sin α

\(\frac{F}{u} = \frac{m \cdot g \cdot sin \alpha}{l \cdot sin \alpha} = \frac {m \cdot g}{l} (= constant). \)

met de veronderstelling sin α ≈ α kan ik dus heel de uitwijkingshoek uit de vergelijking wegstrepen. Verder rekenend naar de T=2π√(l/g) gebruik ik bovenstaande mg/l weer, waarmee ik dan tenslotte aantoon dat T onafhankelijk is van u. Maar dat staat of valt dus met het uitgangspunt dat

Bij kleine uitwijkingen is u nagenoeg gelijk aan de lengte van dat horizontale stippellijntje, waardoor we mogen stellen dat u ≈ l·sin α

[Phys]

In Jans uitleg zie ik niet echt waar "

\(\sin\alpha\approx\alpha\)

" wordt gebruikt.

Mijn uitleg:

Als we de "arc length" oftewel de (exacte) lengte van het cirkelsegment x noemen, is x dus de exacte, onbenaderde uitwijking.

Zoals Jan al schreef is de terugdrijvende kracht gelijk aan

\(F_{\alpha}=-mg\sin\alpha\)

(ik gebruik een minteken omdat de kracht altijd tegengesteld is aan de verplaatsing).

We gebruiken nu de benadering

\(\sin\alpha\approx\alpha\)

waardoor deze terugdrijvende kracht wordt:

\(F_{\alpha}\approx mg\alpha\)

Nu geldt dat de hoek

\(\alpha\)

EXACT gelijk is aan x/l. Immers, als we een gehele cirkel nemen is x gelijk aan de omtrek:

\(2\pi\ell\)

en de hoek

\(\alpha=2\pi\)

. Dan staat er dus

\(\alpha=\frac{x}{l}=\frac{2\pi \ell}{\ell}=2\pi\)

.

Dus

\(F_{\alpha}\approx mg\alpha=-mg\frac{x}{\ell}\)

.

Met deze benadering kunnen we de periode berekenen, omdat F nu recht evenredig is met de uitwijking, net als bij een massa-veer-systeem. De "veerconstante" is nu

\(k=\frac{mg}{\ell}\)

en dus

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{{mg/\ell}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\ell}}\)

en dan T=2pi/omega.

[Morzon]

Als we de maclaurin-reeks van sinus ontwikkelen krijgen we:

\(\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)

Voor kleine x is daarom

\(\sin{x}\)

nagenoeg gelijk aan x.

Je kan ook de maclaurin-reeks van cosinus berekenen, en dan zie je dat cosinus voor kleine x ongeveer gelijk is aan 1. Waarom tan voor kleine x ook bij benadering x is, is dan ook duidelijk.