Vectorruimte?

[Scofield]

Welke van de volgende verzamelingen zijn vectorruimten (hierbij zijn ai(x) willekeurige

functies van x)?

1) de oplossingsverzameling van het beginwaardenprobleem

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1 (0 < x < 1)

2) de oplossingsverzameling van het randwaardenprobleem

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0, αy(0) + βy′(0) = 0, γy(1) + δy′(1) = 0 (0 < x < 1)

De eerste is geen vectorruimte , de tweede wel.

Kan iemand verduidelijken?

[Scofield]

De antwoorden voor toekomstige (eventueel geïnteresseerde) bezoekers

De eerste is geen vectorruimte, omdat de nulfunctie geen deel uitmaakt van de oplossingenverzameling. Als je bijvoorbeeld de nulfunctie als oplossing zou nemen dan zou de afgeleide van de afgeleide gelijk moeten zijn aan 1, wat dus niet mogelijk is.

De tweede is een vectorruimte, omdat als je oplossingen gewoon invult je dus een "juiste" vergelijking krijgt.

[TD]

De oplossingsruimte van een zo'n lineaire differentiaalvergelijking van orde n levert een basis voor een vectorruimte van orde n, vandaar dat ik het eerst vreemd vond dat 1 er geen vormde. Ik was vergeten te kijken naar de voorwaarden, de nulvector (nulfunctie) moet er steeds toe behoren en dat is bij 1 inderdaad niet het geval.

[Scofield]

Ja inderdaad. Dat was ook mijn eerste antwoord. Ik heb bij het oplossen van veel oefeningen ondervonden dat dit een zeer belangrijke eigenschap is. 1/4 van de oefeningen die ik maakte waren op te lossen door gebruik te maken van de eigenschap dat de nulfunctie (niet) behoorde tot de oplossingenverzameling.

[TD]

Dat is voor dit soort opgaven zeker een nuttige eigenschap, want de lineariteit is wel steeds voldaan. Voor een lineaire differentiaalvergelijking, is een lineaire combinatie van oplossingen immers opnieuw een oplossing.