Beeld onder conforme afbeelding

[Luuk1]

Stel we hebben een complex getal met

\(-\pi/4<Arg (z)< \pi/4\)

. Laat ik dit gebied A noemen. Verder hebben de mapping

\(w=\frac{z}{z-1}\)

Wat is de nu bijbehorende image van gebied A?

Ik vind dit nog lastig, want ik kan ook niet echt 'zien' hoe de afbeelding eruit gaat komen te zien. Ik weet wel dat gebied A wordt ingesloten door

\(y=x\)

aan de bovenkant en

\(y =-x\)

aan de onderkant. Hoe los ik dit verder op?

[Drieske]

Ik veronderstel dat het concept 'conformal mapping' je niet vreemd is? Wat weet je bij conforme afbeeldingen van het beeld van een rechte?

[Luuk1]

Ik ben inderdaad bekend met conformal mapping. De lijn loopt niet door een singularity, dus hij mapt als een cirkel. Inmiddels heb ik de opgave al opgelost, maar je krijgt een cirkel voor elke lijn, elk met een ander middelpunt. Het was een heel gedoe om deze middelpunten te bepalen

Toch bedankt voor je hulp!

[Drieske]

Okee, zoveel te beter dat het nog zelf gelukt is . Nog veel succes!

[Safe]

Wat krijg je te zien in 't w-vlak?

[Luuk1]

Je krijgt 2 cirkels in het w-vlak, beide met straal

\(\frac{1}{\sqrt 2}\)

. De een heeft middelpunt

\((-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}i)\)

en de ander

\((-\frac{1}{2},\frac{1}{2}i)\)

. Het gebied dat deze twee cirkels NIET insluiten is de afbeelding.

[Safe]

Je krijgt 2 cirkels in het w-vlak, beide met straal

\(\frac{1}{\sqrt 2}\)

. De een heeft middelpunt

\((-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}i)\)

en de ander

\((-\frac{1}{2},\frac{1}{2}i)\)

. Het gebied dat deze twee cirkels NIET insluiten is de afbeelding.

Helemaal goed.

Maar wat was nu eigenlijk je probleem?

[Luuk1]

Mijn probleem was eigenlijk als volgt. Ik nam voor z = x + ix, en vervolgens werkte ik w uit in de vorm w = u + iv. Als ik nu (u,v) plotte met parameter x dan kwam daar inderdaad een cirkel uit. Probleem was echter dat ik het middelpunt van de cirkel niet wist, dus kon ik het niet direct schrijven in de vorm (u-a)^2+(v-ib)^2 = constant => |z - (a+bi)| = ..

Uiteindelijk heb ik toen voor een andere manier van aanpak gekozen, namelijk drie punten op de lijn z = x+ix pakken en vervolgens hun beeld uitrekenen. Je hebt dan dus ook drie punten op de cirkel (zeg c1,c2,c3). Ik heb toen tussen c1 en c2 de middelloodlijn getrokken en hetzelfde gedaan voor c2 en c3. Waar deze middelloodlijnen elkaar snijden ligt het middelpunt van de cirkel. Deze opgave was echt geen pretje ;p

[Safe]

Maar je bent er uitgekomen en dat moet toch voldoening geven.

Even een paar punten. We hebben het z-vlak en als beeld het w-vlak. Je zoekt het beeld van y=x in het w-vlak onder de transformatie:

\(w=\frac{z}{z-1}\)

Dus: z=1 geeft w=∞, z=∞ geeft w=1 en z=0 geeft w=0.

Zodoende heb je al twee ptn van je beeld (waarom?)

Kiezen we z=1+i dan geeft dat w=1-i als derde punt.

De drie ptn geven een (gelijkzijdige) rechthoekige drh.

Volgens de st v Thales is het middelpunt van de (omgeschreven) cirkel het midden van de schuine zijde.

Klaar!

Controle: bepaal het beeld van z=(1+i)/2.

Nuttig is na te gaan hoe het deel van de cirkel doorlopen wordt bv te beginnen met z=∞ naar z=0

Als je nog nieuwsgierig bent naar de verg bij substitutie van:

\(z=\frac{t}{ \sqrt{2}}(1+i)\)

met t>=0

dan merk ik dat wel ...