vergelijking van een cirkel

[eefebel]

10)

\(2x^2+2y^2+12x+6y=0\)

is de vergelijking van

1. een cirkel met middelpunt
   \(\left(-3,\frac32\right).\)
2. een cirkel met middelpunt
   \(\left(-6,-3).\)
3. een cirkel met straal
   \(\frac32\sqrt{5}\)
4. een cirkel met straal
   \(\frac{45}{4}\)

[/b][/i]

Verborgen inhoud

Antwoord C.

Stel een vraag over deze oefening.

(Herkomst: simulatie-examen EMSA 2009)

Hallo,

Dit onderwerp is helemaal nieuw voor mij en ik ben een beetje aan het zoeken en proberen maar het lukt me even niet.

In een boek over wiskunde heb ik gevonden:

De vergelijking van een cirkel is:

\( x^2+ y^2 + 2ax + 2by + c \)

Voor het middelpunt geldt dan: M = (-a,-b)

En voor de straal gebruik je:

\( a^2 + b^2 - c \)

Ik ga er van uit dat dit klopt, alleen als ik het toe pas kom ik niet goed uit.

Als ik het bovenstaande toepas dan krijg ik dit:

De vergelijking van deze cirkel is:

\(2x^2+2y^2+12x+6y=0\)

Dus ik denk ok nu moet ik hem zo schrijven:

\(2x^2+2y^2+2*6x+2*3y=0\)

Hierbij is dus mijn a=6 en b=3.

Als ik dan kijk naar de formule voor het middelpunt dan krijg je:

Middelpunt = (-a,-b) dus je krijgt (-6,-3)

Maar dit is blijkbaar nie thet juiste antwoord.

Als ik de straal zou uitrekenen gebruik ik:

\( a^2 + b^2 - c \)

Dit toepassen geeft:

\( 6^2 + 3^2 \)

En hierop kom ik op [wortel]45 dus dat zou 3[wortel]5 zijn. Maar dit klopt dus niet.

Zou iemand me kunnen uitleggen waar ik de fout in ga en hoe ik het wel zou moeten aanpakken?

Alvast bedankt!

Groet, Eva

[Xenion]

De fout die jij maakt is dat je vergeet dat er ook nog een 2 bij de x² en y² staat. Als je kijkt naar je algemene formule dan moeten die beide coëfficiënt 1 hebben

Ik heb het als volgt geleerd:

De algemene vergelijking van een cirkel is

\((x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2\)

Waarbij r de straal is en het middelpunt

\(M(x_m, y_m)\)

Uit deze vorm kan je het middelpunt en de straal rechtstreeks aflezen. Probeer gewoon stapsgewijs de opgave te herschrijven naar deze vorm.

(De formules die jij gebruikt kunnen hiervan makkelijk afgeleid worden.)

[aadkr]

Ik zal je een beetje op weg helpen

\(2x^2+12x+2y^2+6y=0\)

Nu links en rechts van het = teken delen door 2

\(x^2+6x+y^2+3y=0\)

Nu kwadraat afsplitsen.

[eefebel]

Bedankt voor de reacties, ik heb er even naar zitten kijken maar ik snap het nog steeds niet echt.

Mijn probleem nu is dat ik geen idee heb hoe ik de vergelijking

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2 \)

uit de vergelijking

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

ga halen.

Want in de formule

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2 \)

zijn

\(xm\)

en

\(ym\)

dus getallen zonder x of y? Want dan kom ik al een heel stuk verder! Maar dan kom ik er nog steeds niet want ik mis even de bedoeling.

Zou iemand gewoon de hele som in stappen kunnen opschrijven? Want meestal werkt dat beter voor mij dan ernaar te zoeken want ik heb geen idee wat ik moet doen.

Om toch nog even een poging te wagen:

Waarschijnlijk is het nu dus de bedoeling dat ik uit deze vergelijking:

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

een nieuwe vergelijking maak met:

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 \)

Waarin dus

\(xm\)

en

\(ym\)

getallen zijn. Maar op dit moment zie ik niet welk kwadraat dan zou kunnnen voldoen.

En waarvoor dient de

\( r^2 \)

dan?

Ok, ik hoop dat iemand de som even stap voor stap zou kunnen opschrijven, want ik denk dat dat het probleem is. Ik kan wel formules zien maar het handigste is om te kijken naar een voorbeeld en het dan vervolgens zelf toe te passen op andere sommen.

(ik hoop niet dat ik te onduidelijk ben, uitleggen is gewoon echt niet mijn ding zeker niet typend! )

[Luuk1]

Bedankt voor de reacties, ik heb er even naar zitten kijken maar ik snap het nog steeds niet echt.

Mijn probleem nu is dat ik geen idee heb hoe ik de vergelijking

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2 \)

uit de vergelijking

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

Als je nu begint met

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

Wat denk je dan van het volgende?

\((x+3)^2+(y+\frac{3}{2})^2-\frac{45}{4}\)

Werk hiervan de haakjes eens weg en wat zie je dan?

Je hebt het hierboven ook over xm en ym, dit zijn gewoon constantes inderdaad. De

\(r^2\)

is de straal van de cirkel voor alle duidelijkheid. Dus je opdracht is dan simpelweg voor

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

kwadraat afsplitsen, zodat je hem in de vorm voor een (herkenbare) cirkel vgl kunt schrijven.

[Siron]

\( x^2 + 6x +y^2 +3y = 0 \)

Je geeft de goede bedoeling aan.

Neem eerst even:

\(x^2+6x+a\)

Met a een constante die we niet weten, je ziet hier duidelijk iets verschijnen in de vorm van:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

(dit is wat we nodig hebben!).

Als je nu schrijft met gebruik van dat merkwaardig product:

\((x+3)^2=x^2+6x+9\)

, hierin zie je duidelijk de

\(x^2+6x\)

die we al hadden, maar natuurlijk de 9 is te veel, want die stond er oorspronkelijk niet! Dus je kan nu schrijven:

\(x^2+6=(x+3)^2-9\)

Doe dit nu eens voor

\(y^2+3y\)

, breng daarna de constanten (-9, ...) naar het andere lid, zij zullen de straal aangeven.

[Xenion]

't is een beetje puzzelen:

Je begint met

\(2x^2+2y^2+12x+6y=0\)

.

Om te beginnen ga je al alles delen door 1, zodat bij x² en y² een coëfficiënt 1 staat.

\(x^2+y^2+6x+3y=0\)

Je wil alles herschrijven naar de standaard vorm.

\((x^2+3)^2-9+y^2+3y=0\)

Zie je wat er gebeurt?

Edit: had niet gezien dat er al een paar keer was geantwoord, maar bon kzal het laten staan. Beter teveel hulp dan te weinig

[eefebel]

Hoi iedereen,

Alvast bedankt want ik denk dat ik het nu behoorlijk door heb

Alleen ik zit nu even na te rekenen want je krijgt dus dit:

\((x+3)^2 + (y+3/2)^2 - 42/4 \)

Dus met de formule:

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2\)

Dus de

\(r^2 = 42/4 \)

Dus

\( r=\)

\(42/4 \)

Maar dan kom ik niet uit op het antwoord hierboven van

\( r= 3/2\)

\(5 \)

? Of maak ik ergens een rare fout?

[eefebel]

Hoi iedereen,

Alvast bedankt want ik denk dat ik het nu behoorlijk door heb

Alleen ik zit nu even na te rekenen want je krijgt dus dit:

\((x+3)^2 + (y+3/2)^2 - 42/4 \)

Dus met de formule:

\( (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2\)

Dus de

\(r^2 = 42/4 \)

Dus

\( r=\)

\(42/4 \)

Maar dan kom ik niet uit op het antwoord hierboven van

\( r= 3/2\)

\(5 \)

? Of maak ik ergens een rare fout?

OK jongens sorry ik maak even een reken foutje haha dommm.

Maar ik snap het nu wel Dus allemaal erg bedankt voor de reacties!

[Safe]

Hoe kom je aan 42/4?