De variabele van een polynoomring

[Tempus]

Zitten er beperkingen aan wat de variabele van een polynoomring R[x] kan zijn? Kan het bijvoorbeeld alleen maar een getal zijn, of ook een verzameling?

Neem bijvoorbeeld de restklasse 1 = {..., -5, -3, 1, 3, 5,...} uit Z\2Z. Als je dan zegt 1*x=x, krijg je x={...,-5x, -3x, x, 3x, 5x}. Maar als je x als verzameling definieert kom je weer de problemen als je bijvoorbeeld x^2 hebt. Hoe zit dit?

[Drieske]

Verplaatst naar Algebra.

Ik snap je vraag eerlijk gezegd niet goed... Kun je het verduidelijken (evt met een voorbeeld)?

[Tempus]

Simpel gezegd: wat is de uitkomst van bijvoorbeeld 1*x, met 1={..., -5, -3, 1, 3, 5,...}? Is het een verzameling? Zo ja, geldt dan nog wel dat 1*x=x?

Sorry als het nog helemaal duidelijk is, dat is het voor mezelf ook nog niet helemaal.

[Drieske]

Simpel gezegd: wat is de uitkomst van bijvoorbeeld 1*x, met 1={..., -5, -3, 1, 3, 5,...}? Is het een verzameling? Zo ja, geldt dan nog wel dat 1*x=x?

De uitkomst van wat? Je hebt geen vergelijking lijkt me? En dat is toch een basisvoorwaarde voor uitkomsten te kunnen hebben .

Helaas ben ik nog niet volledig mee met waar je naartoe wilt.

[Tempus]

De uitkomst van wat? Je hebt geen vergelijking lijkt me? En dat is toch een basisvoorwaarde voor uitkomsten te kunnen hebben .

Ik bedoelde "uitkomst" als in de zin van: "de uikomst van 2*2 is 4". Misschien was "product" een beter woord geweest. Dus wat ik bedoelde was: wat is het product van 1*x?

Mocht er nog verwarring zijn dat zal ik zeggen wat ik denk. Het lijkt me logisch dat 1*x = x. Dus {..., -5, -3, 1, 3, 5,...}*x = {..., -5x, -3x, x, 3x, 5x,...} = x. Maar als dit klopt, wat is dan x^2?

[Drieske]

Je moet dan om zo een dingen te mogen (of zelfs kunnen) noteren een zeer goed onderscheid moeten maken tussen het getal 1 en de restklasse 1. Dat is namelijk zeer verraderlijk. Hetzelfde geldt trouwens voor x. En bijgevolg ook voor x².

Meestal noteert men restklassen met bijv 1 (soms ook met de streep erboven).

[Tempus]

Hetzelfde geldt trouwens voor x. En bijgevolg ook voor x².

Dus je moet een onderscheid maken tussen x en x? En de "x" in (Z/2Z)[x]? Dat is toch wel de gewone x, neem ik aan?

[Drieske]

Dus je moet een onderscheid maken tussen x en x?

Van zodra je aan x een waarde wilt toekennen, wel ja... Zolang het een variabele is van een veelterm, maakt dat niet uit. Dit beantwoordt denk ik meteen:

En de "x" in (Z/2Z)[x]? Dat is toch wel de gewone x, neem ik aan?

Dat is gewoon een variabele en is dus in zekere zin inderdaad de 'gewone' x. Werken met polynomen in restklasseringen is sowieso een vrij hekel punt waar 'speciale' regels voor gelden.

Het makkelijkst (voor jezelf) is om gewoon steeds met de restklasses te werken.

[Tempus]

Van zodra je aan x een waarde wilt toekennen, wel ja... Zolang het een variabele is van een veelterm, maakt dat niet uit.

Oké, dat is duidelijk.

Dat is gewoon een variabele en is dus in zekere zin inderdaad de 'gewone' x. Werken met polynomen in restklasseringen is sowieso een vrij hekel punt waar 'speciale' regels voor gelden.

Fijn om te weten dat het niet helemaal aan mij ligt.

Dus ter conclusie: je mag gewoon zeggen dat 1*x = x?

[Drieske]

Dat mag je inderdaad zeggen .

[Tempus]

Dan heb ik nu de vraag:

"Vind alle nulpunten uit Z/12Z van het polynoom x^2+11 ∈ (Z/12Z)[x]."

Ik heb geen idee hoe ik dit op moet lossen. Als je worteltrekt krijg je de wortel van een negatieve restklasse als antwoord, en ik weet niet zo'n uitdrukking wel gedefinieerd is.

[mathfreak]

Merk op dat x =1 een oplossing is, en ga na dat x = 5 de andere gezochte oplossing is.

[Jordy19]

Er zijn nog twee oplossingen namelijk x=7 en x=11

[Drieske]

Makkelijkste manier is om in eerste instantie dit te doen: in de ring (Z/12Z) is +11 hetzelfde als -1. Dus word je veelterm x²-1 en dan moet je dus die x'en zoeken zodat (x²)mod(12)=1. Zie je dit?

[Tempus]

Makkelijkste manier is om in eerste instantie dit te doen: in de ring (Z/12Z) is +11 hetzelfde als -1. Dus word je veelterm x²-1 en dan moet je dus die x'en zoeken zodat (x²)mod(12)=1. Zie je dit?

Je zoekt de oplossingen van x^2=1, maar omdat x^2 een element is van een restklasse modulo 12 zoek je eigenlijk naar de oplossingen van: x^2=1=13=25=37=49... Dit zijn allemaal veelvouden van 12 met rest 1. (Ik herken hier al de eerder genoemde oplossingen 1, 5 en 7.) Dus zijn je oplossingen die x'en waarvoor geldt (x^2)mod(12)=1.