Dubbele ruimtelijke integraal

[physicalattraction]

Ik zit met de volgende uitdrukking voor willekeurige

\(\vec{k}\)

,

\(\vec{l}\)

,

\(\vec{m}\)

en

\(\vec{n}\)

:

(1)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r} + \vec{l} \cdot \vec{r'} - \vec{m} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}\)

Hierin is

\(\Omega\)

het normalizatievolume, dus:

(2)

\(\iiint d^3\vec{r} = \Omega\)

.

Volgens het boek waar deze in staat (A guide to Feynman diagrams in the Many-body problem, Richard Mattuck) is dit gelijk aan:

(3)

\(V_{klmn} = \frac{1}{\Omega} \frac{4 \pi V_0 a^3 \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}}{1+(\vec{k}-\vec{m})^2a^2} = \frac{1}{\Omega} \frac{4 \pi V_0 a^3 \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}}{1+(k^2+m^2-2km \cos (\theta))a^2}\)

,

waarbij

\(\theta\)

de hoek is tussen

\(\vec{k}\)

en

\(\vec{m}\)

. Dit zie ik niet in. Dit is wat ik al geprobeerd heb:

Vul de delta-functie in door te schrijven

\(\vec{n} = \vec{k} + \vec{l} - \vec{m}\)

. Eigenlijk moet je hierna altijd de delta-functie achter alle uitdrukkingen zetten, deze laat ik voor een simpelere notatie even achterwege.

(4)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r} + \vec{l} \cdot \vec{r'} - \vec{m} \cdot \vec{r} - (\vec{k} + \vec{l} - \vec{m})\cdot \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} }\)

(5)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot (\vec{r} - \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} }\)

Nu pas ik een substitutie van variabelen toe:

(6)

\(\iiint d^3 \vec{r'} = \iiint d^3 (\vec{r} - \vec{r'}) = \iiint d^3 (\vec{u})\)

Waarmee de integraal wordt:

(7)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{u} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot \vec{u}} \frac{e^{-|\vec{u}|/a}}{|\vec{u}|/a} }\)

De integrand hangt nu niet meer van

\(\vec{r}\)

af, dus de buitenste integraal kan met (2) opgelost worden:

(8)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega} \iiint d^3 \vec{u} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot \vec{u}} \frac{e^{-|\vec{u}|/a}}{|\vec{u}|/a} }\)

En dit is het punt waarop ik min of meer vastloop. Ik wil nu overgaan op bolcoordinaten, maar hoe ziet het inproduct van

\(\vec{k} - \vec{m}\)

met

\(\vec{u}\)

er dan uit? Dit is wat ik krijg als ik

\(\vec{k} - \vec{m}\)

als een gewoon getal opvat:

(8)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \int du u^2 e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) u} \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)

(9)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \int du u a e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) u} e^{-u/a} }\)

(10)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} [\frac{a^2 e^{-\frac{u}{a} (1+i (\vec{k} - \vec{m}) u a)}(i a (\vec{k} - \vec{m}) u + a + u)}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)^2}]_{u=0}^{u=\infty}\)

(11)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \frac{a^3}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)^2}\)

Dit lijkt een beetje op het antwoord uit (3), wat anders opgeschreven dit is:

(12)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \frac{a^3}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)}\)

Maar de noemer is niet hetzelfde. Bovendien vraag ik me af of je

\(\vec{k} - \vec{m}\)

wel zomaar als getal mag opvatten. Kan iemand me hierbij helpen?

[M.B.]

Is bij de substitutie van veranderlijken (6) de Jacobiaan gelijk aan 1. Ik heb het zelf niet gecheckt, maar dat is niet de feitelijke vraag.

Wat betreft je integraal over de vector u:

Het feit dat je in regel (8) een 4pi voorop zet, zou willen zeggen dat je integrand enkel functie is van de grootte van de vector u. Je hebt inderdaad de bolmetriek \(u^2 sin \theta du d\theta d\phi\) en als enkel de grootte van u in het integrand staat kan de integraal over theta en phi voorop wat een 4pi oplevert.

In dit geval moet de exponent in de e-macht volgens mij voluit zijn:

\( (\vec{k} - \vec{m}) \cdot \vec{u} = |\vec{k} - \vec{m}|\cdot |\vec{u}|\cdot \cos (\vec{k} - \vec{m},\vec{u})\)

De lengtes van de vectoren mag je nu als getallen beschouwen, een 'gewone' integraal (en bv. schrijven zonder vectorstrepen als dit duidelijker is voor je), maar er zal nog een integraal bijkomen die de hoeken tussen de vectoren beschrijft.

De lengte van de vector k-m kan uitgewerkt worden naar de uitdrukking in de noemer zoals die in het boek staat (definitie lengte van een vector) met theta nu de hoek tussen k en m.

[physicalattraction]

Volgens mij bevat de Jacobiaan in (6) slechts een factor -1, maar die valt er dan weer uit als je over de gehele ruimte integreert.

Dus dan wordt het dit?

(8')

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega} \int_{0}^{2 \pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int d\phi d\theta du \sin(\theta) u^2 e^{-i(|\vec{k}-\vec{m}|) u \cdot \cos (\vec{k} - \vec{m},\vec{u})} \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)

Maar hoe kan ik die cos dan omzetten in bolcoordinaten?

[M.B.]

Die theta gaat van 0 tot pi/2 en is in dit geval de hoek tussen k-m en u.

er staat dus eigenlijk een integraal over exp(cos(theta)) over theta en je hebt een dsin(theta).

Doe eerst integraal over theta en de rest integreer je over u.

De uiteindelijke theta is een andere theta dan de deze, niet te verwarren.

[physicalattraction]

Wordt het hoekafhankelijke deel dan dit?

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \sin(\theta) e^{\cos(\theta)}\)

Die integraal gaat dan wel lukken, maar waarom loopt die hoek dan van 0 tot pi/2? Elke hoek tussen 0 en 2pi is toch mogelijk tussen

\(\vec{k} - \vec{m}\)

en

\(\vec{u}\)

? Dat deze theta anders is dan die theta uit het antwoord zie ik, maar begrijp ik het nu goed als ik zeg dat die ook anders is dan de hoek theta die ik eigenlijk al had (want deze nieuwe theta hangt van de oorspronkelijke theta en phi af)?

[physicalattraction]

Ik heb nu als volgt geredeneerd. Ik moet het inproduct van

\(\vec{k'} = \vec{k}-\vec{m}\)

met

\(\vec{u}\)

weten. Hiervoor ga ik over op Cartesische coordinaten, waarbij:

\(\vec{k'} = \left( \begin{array}{c} k' \sin \theta' \cos \phi' \\ k' \sin \theta' \sin \phi' \\ k' \cos \theta'\end{array} \right)\)

en

\(\vec{u} = \left( \begin{array}{c} u \sin \theta \cos \phi \\ u \sin \theta \sin \phi \\ u \cos \theta\end{array} \right)\)

Aangezien ik over de gehele ruimte integreer, kan ik een willekeurige orientatie kiezen voor mijn x-, y- en z-as en zo dus de hoek van

\(\vec{k'}\)

zelf bepalen. Ik kies hem zo dat

\(\theta' = 0\)

, dan geldt voor het inproduct dat ik zoek:

(13)

\(\vec{k'} \cdot \vec{u} = k' u \cos \theta\)

En de integraal wordt hiermee (klein foutje in integratiegrenzen over theta aangepast):

(14)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} d\phi d\theta du u^2 \sin \theta e^{-i(k' u \cos \theta)} \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)

(15)

\(V_{klmn} = \frac{2 \pi V_0}{\Omega} \int_0^{\pi} d\theta \sin \theta e^{\cos \theta} \int_0^{\infty} du u^2 e^{-i(k' u) } \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)

Bij de eerste integraal (die lijkt op wat M.B. voorstelde, maar dan met andere grenzen) bekom ik echter als antwoord:

(16)

\(\int_0^{\pi} d\theta \sin \theta e^{\cos \theta} = -e^{\cos(\theta)} |_{\theta = 0}^{\theta = \pi} = e - \frac{1}{e}\)

en dit komt nergens in het uiteindelijke antwoord voor. Wat gaat hier fout? Mag ik die splitsing in twee losse integralen wel maken hier?

[M.B.]

Ten eerste: je hebt gelijk wat betreft de nieuwe grenzen voor pi: wel degelijk van 0 tot pi!

Het splitsen van die integralen wat je op het laatste doet (zodat je e-machten bekomt) is een doodzonde tegen de rekenregels van exponentiele functies...

\( exp(a+b) = exp(a)exp(b)\)

MAAR

\( exp(ab) \neq exp(a)exp(b)\)

Je moet de integraal over \( \theta \) dus doen zonder de exponent de splitsen. Dit is redelijk eenvoudig mits een kleine substitutie (waarin nog een u zit die nadien in de integraal over u nog gebruikt moet worden).

Vergeet tenslotte niet dat wat je \( k^\prime \) noemt eigenlijk het verschil is van \( k-m \).

Trouwens: die theta waarover je nu integreert heb ik in een vorig bericht genoteerd als de hoek tussen (k-m,u).

De integraal over u heeft tenslotte de vorm van een Laplacegetransformeerde en die kan je opzoeken in de boekjes.

Wanneer ik dit allemaal doe, krijg ik een andere voorfactor (imaginaire i die overblijft en een \( a^2 \textrm{ipv} a^3 \). Voor de rest heb ik hetzelfde als het boek.

[M.B.]

Ik heb zelf (domme) rekenfout gemaakt.

Al het voorgaande ik zei is juist.

Indien zonder rekenfouten komt er exact het antwoord uit het boek.

Ik zou het resultaat kunnen neertypen, maar het lijkt me zinvoller om je zelf wat te laten zoeken.

[physicalattraction]

Oeps, voor die doodzonde ga ik even in een hoekje zitten en me schamen.

Ik hoop vanavond wel weer uit mijn hoekje te kruipen en dan ga ik het nogmaals proberen zelf op te lossen. Alvast bedankt voor je hulp!

[physicalattraction]

Ik heb hem nu!

(14)

\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} d\phi d\theta du u^2 \sin \theta e^{-i(k' u \cos \theta)} \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)

(15)

\(V_{klmn} = \frac{2 \pi V_0}{\Omega} \int_0^{\infty} du u^2 \frac{e^{-u/a}}{u/a} } \int_0^{\pi} d\theta \sin \theta e^{-i(k' u \cos \theta)} \)

(16)

\(V_{klmn} = \frac{2 \pi V_0}{\Omega} \int_0^{\infty} du u a e^{-u/a} } \frac{2 \sin(k' u)}{k' u} \)

(17)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0 a}{\Omega k'} \int_0^{\infty} du e^{-u/a} } \sin(k' u) \)

(18)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0 a}{\Omega k'} \frac{k'}{\frac{1}{a^2} + k'^2} \)

(19)

\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0 a^3}{\Omega (1+a^2 k'^2)} \)

Hierbij is

\(k' = |\vec{k}-\vec{m}| = \sqrt{k^2+m^2-2 k m \cos(\theta)}\)

met deze

\(\theta\)

de hoek tussen

\(\vec{k}\)

en

\(\vec{m}\)

.

M.B., bedankt voor je blijvende interesse en je goede hints!

[M.B.]

Geen dank.

Wat bereken je hier eigenlijk juist?

Een soort matrixelement of overgangswaarschijnlijkheid (bv. 2 deeltjes die inkomen met impulsen k en m en één of andere interactie ondergaan)

Verstrooingsamplitude van dit proces?

[physicalattraction]

Dat is inderdaad wat het is: de overgangswaarschijnlijkheidsamplitude (transition probability amplitude) voor een proces waarin twee deeltjes, eentje in toestand

\(\phi_m\)

en de ander in toestand

\(\phi_n\)

'botsen' tegen elkaar en verstrooid worden in de toestanden

\(\phi_k\)

en

\(\phi_l\)

. Deze amplitude is in het algemeen te schrijven als:

\(V_{klmn} = \int d^3 \vec{r} \int d^3 \vec{r'} \phi_k^{*}(\vec{r}) \phi_l^{*}(\vec{r'}) V(|\vec{r}-\vec{r'}|)\phi_m^{*}(\vec{r})\phi_n^{*}(\vec{r'})\)

De toestanden zijn de oplossingen voor vrije elektronen:

\(\phi_k(\vec{r} = \frac{1}{\sqrt(\Omega} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}\)

en de interactie is gekozen als de Yukawa potentiaal:

\(V(|\vec{r}-\vec{r'}|) = a V_0 \frac{e^{- |\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}\)

.

De delta-functie komt vanwege het feit dat in deze interactie het massamiddelpunt niet verandert en dus impulsmoment behouden blijft:

\(\vec{k} + \vec{l} = \vec{m} + \vec{n}\)

Een combinatie van deze vergelijkingen levert de oorspronkelijke vergelijking in bericht 1 op.