Bepaalde integraal

[Fingerpicker]

De afgeleide van e^X = e^X . Dus de primitieven zijn ook hetzelfde, maar wat ik niet snap is: Waarom moet je afleiden bij het opstellen van een Primitieve functie?

[ZVdP]

Dat is het concept bij substitutie.

Een voorbeeldje.

\(\int\cos(x)\sin(x)dx\)

We merken op dat zowel een functie als zijn afgeleide in de integraal voorkomt. We kunnen denken om eens substitutie toe te passen.

We stellen sin(x)=u

differentiëren aan beide kanten levert

d(sin(x))=du

of

cos(x)dx=du

De integraal wordt dus

\(\int\cos(x)\sin(x)dx=\int[\sin(x)][\cos(x)dx]=\int udu=\frac{u^2}{2}+C\)

Nu moet de substitutie weer ongedaan maken en u omschrijven naar x.

De oplossing van de integraal is dus sin²(x)/2+C

Volg je de berekeningen en de gedachtengang?

[aadkr]

Als het goed is heb je de volgende integraal gevonden .We hebben gesteld dat

\(u=e^x\)

\(\int_{0}^{1} u \cdot \frac{(u-2)}{(u+1)} \cdot dx \)

We moeten nu die term dx kwijt zien te raken .

We hadden eerder afgeleid dat

\(du=e^x \cdot dx \)

of anders gezegd

\(du=u \cdot dx \)

Als we nu in die integraal

\(u \cdot dx \)

vervangen door du , dan veranderd de integraal toch in :

\(\int_{0}^{1} \frac{(u-2)}{(u+1)} \cdot du \)

[lucca]

Hoi FingerPicker,

Ik zal proberen even in -middelbare schooltaal- je te helpen, dit ga ik niet met jouw som doen, maar met een eenvoudig voorbeeld.

begin

Integreren op de middelbare school gaat vaak goed, maar zoals je zelf al inzag wordt dat een stuk lastiger als je een breuk hebt of een combinatie van goniometrische functies... (of zelfs combinaties hiervan). Gelukkig zit je op de middelbare school en zijn jouw sommen nog allemaal fijn op te lossen.

Een truc die heel vaak wordt toegepast is de volgende, kijk hierbij eens naar de volgende functie:

\( f(x) = 2x^3 \)

Deze functie kun je ook zien als :

\( f(x) = 2x * x^2 \)

(akkoord?)

Als je nu eens heel goed kijkt naar deze ''nieuwe'' functie, wat valt je dan op? Inderdaad, die 2x is de afgeleide van de x^2. En ze staan ook nog samen in een functie. Dit is natuurlijk supermooi en dat is ook de truc.

Wat doe je nu eigenlijk met de truc? Ik zeg dan in eerste instantie, niet nadenken, eerst doen:

zoek eerst de primitive (in dit geval dus....... juist x^2), stel deze gelijk aan een willekeurige letter (vaak u)

\( u = x^2 \)

dan weet je dus dat de afgeleide 2x is, dus dan mag je ook zeggen:

\( du = 2x dx \)

vind je dit een gekke notatiewijze? (ik denk het wel... dan schrijf maar eens op:

\( u' = 2x \)

, maar

\( u' \)

kan ik ook schrijven als

\( \frac{du}{dx} \)

, hopelijk zie het nu! )

Aha, nu zijn we goed op weg, want we zien nu in onze oorspronkelijke functie een u en een u',

Kom je nu een eind? (ik ga niet alles voorzeggen namelijk)

[Fingerpicker]

Dat is het concept bij substitutie.

Een voorbeeldje.

\(\int\cos(x)\sin(x)dx\)

We merken op dat zowel een functie als zijn afgeleide in de integraal voorkomt. We kunnen denken om eens substitutie toe te passen.

We stellen sin(x)=u

differentiëren aan beide kanten levert

d(sin(x))=du

of

cos(x)dx=du

De integraal wordt dus

\(\int\cos(x)\sin(x)dx=\int[\sin(x)][\cos(x)dx]=\int udu=\frac{u^2}{2}+C\)

Nu moet de substitutie weer ongedaan maken en u omschrijven naar x.

De oplossing van de integraal is dus sin²(x)/2+C

Volg je de berekeningen en de gedachtengang?

Ik snap het tot: udu = u^2 / 2 .

u = sin(x)

en du = cos(x)

Waarom is dan sin(x) * cos(x) gelijk aan sin^2(x) / 2?

@ Trokkitrooi

Ik snap heel je verhaal, tot:

u' = 2x, maar u' kan ik ook schrijven als du/dx

Ik zie nog niet hoe je dan uiteindelijk bij 1/2 X^4 uit moet komen.

@aadkr

Als ik nu jouw primitieve bekijk en u en du verander met e^x. Dan hebben we weer de oorspronkelijke functie.

Wat is dan de volgende stap, of de truc van deze methode?

[ZVdP]

Je begrijpt hoe we tot u²/2 komen?

We hebben dus een substitutie uitgevoerd (we hebben meer bepaald sinx vervangen door u, en dus cosxdx door du), zodat de integraal een makkelijkere vorm aanneemt.

We hebben hierdoor een uitkomst in functie van u. Maar de oorspronkelijke integraal stond in functie van x.

Deze uitkomst moet dus weer omgeschreven worden.

De uitkomst was u²/2+C en we hadden gesteld dat u=sinx

Dot wordt dus sin²(x)/2+C

[aadkr]

In je bericht staat:

u=sin x

du=cos x

Dit klopt niet

Stel:

\(u=\sin x \)

\(\frac{du}{dx}=\cos x\)

\(du= \cos x \cdot dx \)

[Fingerpicker]

Je begrijpt hoe we tot u²/2 komen?

We hebben dus een substitutie uitgevoerd (we hebben meer bepaald sinx vervangen door u, en dus cosxdx door du), zodat de integraal een makkelijkere vorm aanneemt.

We hebben hierdoor een uitkomst in functie van u. Maar de oorspronkelijke integraal stond in functie van x.

Deze uitkomst moet dus weer omgeschreven worden.

De uitkomst was u²/2+C en we hadden gesteld dat u=sinx

Dot wordt dus sin²(x)/2+C

Dus als je udu eenmaal hebt, wat dan de makkelijkere vorm is, neem je gewoon de primitieve.

Maar de primitieve van u is toch al 1/2 u^2. Waarom is de primitieven van udu ook 1/2 u ^2?

[aadkr]

Beste Fingerpicker,

We waren tot de volgende conclusie gekomen:

\(\int_{0}^{1} \frac{(u-2)}{(u+1)} \cdot du \)

Hoe nu verder??

Ik zal een voorbeeld geven. Als we 7 delen door 3 ,dan kunnen we dit doen met een zogenaamde staartdeling

\(3/7\backslash =2+\frac{1}{7} \)

Pas dit nu eens toe op de breuk

\(\frac{u-2}{u+1} \)

[Fingerpicker]

Beste Fingerpicker,

We waren tot de volgende conclusie gekomen:

\(\int_{0}^{1} \frac{(u-2)}{(u+1)} \cdot du \)

Hoe nu verder??

Ik zal een voorbeeld geven. Als we 7 delen door 3 ,dan kunnen we dit doen met een zogenaamde staartdeling

\(3/7\backslash =2+\frac{1}{7} \)

Pas dit nu eens toe op de breuk

\(\frac{u-2}{u+1} \)

7 delen door 3, geeft toch 2 + 1/3?

Als ik u -2 deel door u + 1. Krijg ik 1 met rest van -3.

[lucca]

Ok, daar gaan we dan:

we hebben nu :

\( u' = 2x \)

\( u' = \frac{du}{dx} \)

(dit is notatiewijze)

maar dan ook :

\( \frac{du}{dx} = 2x \)

(akkoord?)

maar dan dus ook :

\( du = 2x dx \)

(denk maar aan 6/3 = 2, 6 = 3 * 2 )

Nu zijn we er bijna, want we kijken terug naar onze oude functie, die functie was :

\( f(x) = 2x * x^2 \)

en we gingen die functie..... integreren, dus dan schrijven we :

\( \int x^2 * 2x dx \)

(zie die ''dx'''verschijnen)

nu gaan we alleen maar even wat knippen en plakken hoor, want we hebben:

\( u = x^2 \)

en

\( du = 2x dx \)

ik zie in de integraal een x^2 (zie jij hem ook?) en ik zie in mijn integraal een 2x dx (dus die op het einde die dx)

Nou dan vervangen we dat toch gewoon?

dus in plaats van x^2 schrijf ik nu u en in plaats van 2x dx (dus dat hele ding) schrijf ik nu du hoplakee...

en wat krijg ik dan?

\( \int ....... \)

[ZVdP]

Dus als je udu eenmaal hebt, wat dan de makkelijkere vorm is, neem je gewoon de primitieve.

Ja

Maar de primitieve van u is toch al 1/2 u^2. Waarom is de primitieven van udu ook 1/2 u ^2?

De primitieve van u is inderdaad 1/2 u².

En dat noteren we als

\(\int u du=\frac{u^2}{2}+C\)

Die du is dus gewoon een onderdeel van de integraal, zoals er ook dx staat in de opgave.

[aadkr]

7 gedeeld door 3 is inderdaad 2+1/3 . Sorry voor deze fout.

Maar de deling die je liet zien , die klopte helemaal.

\(\frac{u-2}{u+1}=1 -\frac{3}{u+1} \)

De integraal veranderd dan in :

\(\int_{0}^{1} (1-\frac{3}{u+1} )\cdot du \)

Kun je nu verder??

[Fingerpicker]

Ok, daar gaan we dan:

we hebben nu :

\( u' = 2x \)

\( u' = \frac{du}{dx} \)

(dit is notatiewijze)

maar dan ook :

\( \frac{du}{dx} = 2x \)

(akkoord?)

maar dan dus ook :

\( du = 2x dx \)

(denk maar aan 6/3 = 2, 6 = 3 * 2 )

Nu zijn we er bijna, want we kijken terug naar onze oude functie, die functie was :

\( f(x) = 2x * x^2 \)

en we gingen die functie..... integreren, dus dan schrijven we :

\( \int x^2 * 2x dx \)

(zie die ''dx'''verschijnen)

nu gaan we alleen maar even wat knippen en plakken hoor, want we hebben:

\( u = x^2 \)

en

\( du = 2x dx \)

ik zie in de integraal een x^2 (zie jij hem ook?) en ik zie in mijn integraal een 2x dx (dus die op het einde die dx)

Nou dan vervangen we dat toch gewoon?

dus in plaats van x^2 schrijf ik nu u en in plaats van 2x dx (dus dat hele ding) schrijf ik nu du hoplakee...

en wat krijg ik dan?

\( \int ....... \)

\( \int u * du \)

= 1/2 u^2

= 1/2 (x^2)^2

= 1/2 x^4!!!!

Ik denk dat ik het door begin te krijgen... zo langzamerhand dan, hele nieuwe methode leren op een avond is ook niet niks zeg...

[Fingerpicker]

7 gedeeld door 3 is inderdaad 2+1/3 . Sorry voor deze fout.

Maar de deling die je liet zien , die klopte helemaal.

\(\frac{u-2}{u+1}=1 -\frac{3}{u+1} \)

De integraal veranderd dan in :

\(\int_{0}^{1} (1-\frac{3}{u+1} )\cdot du \)

Kun je nu verder??

Ik kom nu uit op een primitieve van e^X - 3 ln ( e^X +1 ), volgens mij is deze net niet helemaal goed, want ik kom uit op een eindantwoord van: e - 1 - 3 ln 2.