Wetenschapsquiz vraag 3

[EvilBro]

Dit onderwerp gaat niet over het antwoord op de vraag, maar om de bewoording van de vraag. Ik verzoek dan ook iedereen om het alleen daarover te hebben.

Vraag 3 van de wetenschapsquiz luidt:

Vraag 3: Je kunt bij Facebook heel goed zien hoeveel vrienden jouw vrienden hebben. Hebben mensen op Facebook gemiddeld net zoveel vrienden als hún vrienden?

Bij deze vraag heb ik het probleem dat ik gewoon niet snap wat er nou gevraagd wordt. Wat betekent "gemiddeld net zoveel vrienden hebben"?

[Rhiannon]

Ik denk dat er bedoeld wordt of iedereen ongeveer hetzelfde aantal vrienden heeft.

[StrangeQuark]

Je kan bekijken bij iedereen op facebook hoeveel vrienden die heeft. Stel je voor je kijkt over het algemeen naar een willekeurig persoon. Laten we die Evilbro noemen (let wel dit is een algemeen verschijnsel, dus over het algemeen moet je erbij bedenken, voor de duidelijkheid neem ik jou nu als voorbeeld!). En we kijken bij alle vrienden van Evilbro hoeveel vrienden die hebben en rekenen daar het gemiddelde van uit. Zal dat gemiddelde dan ongeveer gelijk zijn aan het aantal vrienden dat Evilbro zelf heeft, of zal dat gemiddelde hoger of lager liggen dan het aantal vrienden dat Evilbro heeft.

[Antoon]

ik dacht het volgende:

Niet alle mensen hebben evenveel vrienden. In een extreem voorbeeld zitten er 10 mensen op facebook. 9 van die mensen zijn allemaal vrienden met 1 dezelfde persoon. Dit figuur heeft dus 9 vrienden, de rest allemaal één.

In totaal staan er dan 18 vrienden te boek verdeeld over 10 mensen, dus 1,8 vrienden per persoon.

Tenzij je de persoon bent met 9 vrienden (1 op 10 kans) dan hebben je vrienden veel minder vrienden dan jij.

Echter, de overige 9 (9 op 10 kans) scoren beduidend onder het gemiddelde.

In werkelijkheid zijn er natuurlijk ook accounts (Jan Peter Balkenende) die een astronomisch aantal vrienden hebben. Deze trekken het gemiddelde zover omhoog dat je als de 99% waarschijnlijk onder het gemiddelde scoort.

[physicalattraction]

Ik vind de vraagstelling ook niet geheel duidelijk. Stel nu dat ik slechts drie mensen beschouw:

A: heeft 3 vrienden, die elk 4 vrienden hebben.

B: heeft 3 vrienden, die elk 4 vrienden hebben.

C: heeft 6 vrienden, die elk 4 vrienden hebben.

A en B hebben minder vrienden dan hun vrienden gemiddeld hebben, C heeft meer vrienden dan zijn vrienden gemiddeld hebben. Nu is de vraag: wat is het geval voor "een gemiddeld gebruiker"?

Mogelijkheid 1: de meerderheid heeft minder vrienden dan gemiddeld, dus gemiddeld heeft een gebruiker minder vrienden dan zijn vrienden.

Mogelijkheid 2: A en B hebben gemiddeld 1 vriend minder, C heeft gemiddeld 2 vrienden meer, dus gemiddeld heeft een gebruiker evenveel vrienden als zijn vrienden.

[Erik Leppen]

Misschien bedoelen ze gemiddelden van gemiddelden.

Stel, Facebook telt vijf leden, A B C D E.

De vriendschappen zijn: AB AC AD AE BD BE.

A heeft vrienden BCDE

B heeft vrienden ADE

C heeft vrienden A

D heeft vrienden AB

E heeft vrienden AB

Gemiddeld heeft een Facebooker dus (4 + 3 + 1 + 2 + 2) / 5 = 2,4 vrienden.

A's vriend B heeft vrienden ADE

A's vriend C heeft vrienden A

A's vriend D heeft vrienden AB

A's vriend E heeft vrienden AB

Vrienden van A hebben gemdideld (3 + 1 + 2 + 2) / 4 = 2 vrienden.

B's vriend A heeft vrienden BCDE

B's vriend D heeft vrienden AB

B's vriend E heeft vrienden AB

Vrienden van B hebben gemdideld (4 + 2 + 2) / 3 = 2,66 vrienden.

C's vriend A heeft vrienden BCDE

Vrienden van C hebben gemdideld 4 / 1 = 4 vrienden

D's vriend A heeft vrienden BCDE

D's vriend B heeft vrienden ADE

Vrienden van D hebben gemdideld (4 + 3) / 2 = 3,5 vrienden

E's vriend A heeft vrienden BCDE

E's vriend B heeft vrienden ADE

Vrienden van E hebben gemdideld (4 + 3) / 2 = 3,5 vrienden

Vrienden van Facebookers hebben dus gemiddeld (2 + 2,66 + 4 + 3,5 + 3,5) / 5 = 3,13 vrienden.

Dus vrienden van Facebookers hebben gemiddeld meer vrienden dan Facebookers, in dit voorbeeld, als de vraag zo is bedoeld.

---

Een andere manier om de vraag te lezen is, of het verwachte gemiddelde aantal vrienden van alle vrienden van X, groter of kleiner is dan het verwachte aantal vrienden van X, waarbij X aselect gekozen is. Maar volgens mij lijkt dat erg op mijn vorige uitwerking.

Edit: natuurlijk is de echte vraag: is dit altijd zo, en kunnen we dit logisch beredeneren, zonder zo'n rekenvoorbeeld?

[Rogier]

Volgens mij moet het zo worden opgevat:

Stel G is de verzameling gebruikers van facebook, en voor een gebruiker g

\(\in\)

G is V(g)

\(\subset\)

G de verzameling vrienden van g, en A(g) = #V(g) = het aantal vrienden van g.

Het gemiddeld aantal vrienden dat mensen op facebook hebben is:

\(N = \frac{1}{\#G}\sum_{g\in G}A(g)\)

Het gemiddeld aantal vrienden dat vrienden van mensen op facebook hebben is:

\(M = \frac{1}{\#G}\sum_{g\in G} \left(\frac{1}{A(g)}\sum_{v\in V(g)}A(v)}\right)\)

De vraag is hoe N en M zich verhouden.

Voor een vriendschap tussen gebruiker x en y die erbij komt, geldt wat N betreft dat er twee gebruikers één vriendschap meer hebben. Maar wat M betreft geldt dat er A(x)+A(y) gebruikers zijn wiens vrienden in totaal één vriendschap meer hebben.

Dus tenzij iedere gebruiker precies evenveel vrienden heeft als al zijn vrienden (wat op facebook niet het geval is), zal M groter dan N zijn.