Oefening trillingen

[Val_123]

Zou iemand mij kunnen helpen met deze oefening:

Een massa m hangt aan een veer met een krachtconstante k=50 N/m. Men laat de massa wrijvingsloos oscilleren en we meten nu een frequentie f0 = 5,000 Hz. In aanwezigheid van wrijving daalt de frequentie tot f1 = 4,999 Hz. Gevraagd:

a) Bereken de wrijvingscoefficiënt b

b) Na hoeveel tijd zal de amplitude van de oscillatie gedaald zijn tot 5% van zijn vertrekwaarde?

c) Voor welke b is er een kritische demping?

Voor a) weet ik dat w'= ((k/m)-(b/m)²)^1/2, hieruit kunnen we b halen en m=k/w²

Maar waaruit haal je w'?

Uit f0 en f1 kan je w0 en w1 vinden, maar is w' dan gewoon het gemiddelde van die 2?

Voor b) dacht ik A te berekenen via x(t)=A0e^(-bt/2m)cos(w't) en A=A0e^-1, klopt dit?

Voor c) dacht ik b te berekenen uit x(t)=(A+Bt)e^(-bt/2m), maar waar haal je B uit?

Alvast bedankt!

[Jan van de Velde]

Ik zou nog eens rustig moeten gaan uitzoeken hoe dit ook alweer precies zat.

Om misschien een beginnetje te maken, de formule waar je hier mee afkomt ken ik niet, en ik vraag me af of ze klopt?

w'= ((k/m)-(b/m)²)^1/2

Heeft (b/m)² inderdaad dezelfde dimensie als (k/m) ? Anders kun je ze namelijk niet van elkaar aftrekken.

[aadkr]

Als de massa wrijvingsloos oscilleerd, dan is het volgens mij mogelijk om die massa m te berekenen.

\({(\omega)}^2=\frac{k}{m} \)

\(\omega =2 \cdot \pi \cdot f \)

De oplossing van dit vraagstuk zie ik nog niet, maar dit is in ieder geval een begin.

[Morzon]

Voor een wrijvingsloos harmonisch oscillator geldt:

\(ma=m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx\)

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \ \ \Rightarrow \ \ x(t)=Acos(\omega_0 t)+Bsin(\omega_0 t)\)

met

\(\omega_0^2=\frac{k}{m}\)

Voor een harmonisch oscillator met wrijving (wrijving is evenredig met snelheid) geldt:

\(m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx-b\frac{dx}{dt}\)

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0 \)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is afhankelijk van de demping constante b!

\(b^2-4km=0\)

kritische demping (1)

\(b^2-4km>0\)

grote demping (2)

\(b^2-4km<0\)

kleine demping (3)

Dus de oplossingen zijn respectievelijk voor (1),(2) en (3):

\(x(t)=(A+Bt)e^{\omega_1 t}\)

met

\(\omega_1=\frac{-b}{2m}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

\(x(t)=Ae^{r_+t}+Be^{r_-t}\)

met

\(r_{\pm}=-\frac{b}{2m} \pm \frac{1}{2m}\sqrt{b^2-4km}\)

\(x(t)=e^{\omega_1t}\left( A cos(\mu t)+Bsin(\mu t)\right)\)

met

\(\mu=\frac{1}{2m}\sqrt{4km-b^2}>0\)

Met deze informatie zou je het moeten kunnen oplossen.

[Val_123]

Voor een wrijvingsloos harmonisch oscillator geldt:

\(ma=m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx\)

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \ \ \Rightarrow \ \ x(t)=Acos(\omega_0 t)+Bsin(\omega_0 t)\)

met

\(\omega_0^2=\frac{k}{m}\)

Voor een harmonisch oscillator met wrijving (wrijving is evenredig met snelheid) geldt:

\(m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx-b\frac{dx}{dt}\)

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0 \)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is afhankelijk van de demping constante b!

\(b^2-4km=0\)

kritische demping (1)

\(b^2-4km>0\)

grote demping (2)

\(b^2-4km<0\)

kleine demping (3)

Dus de oplossingen zijn respectievelijk voor (1),(2) en (3):

\(x(t)=(A+Bt)e^{\omega_1 t}\)

met

\(\omega_1=\frac{-b}{2m}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

\(x(t)=Ae^{r_+t}+Be^{r_-t}\)

met

\(r_{\pm}=-\frac{b}{2m} \pm \frac{1}{2m}\sqrt{b^2-4km}\)

\(x(t)=e^{\omega_1t}\left( A cos(\mu t)+Bsin(\mu t)\right)\)

met

\(\mu=\frac{1}{2m}\sqrt{4km-b^2}>0\)

Met deze informatie zou je het moeten kunnen oplossen.

Heel erg bedankt! Het is me gelukt.